Cómo ordenar todos los números racionales de$(0,1)$ en una secuencia$(x_n)_{n=1}^\infty$ de tal manera que$$|x_n-x_k| \geq \frac{1}{(n+1)^2}$$ for $ k <n $?
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Orden ascendente denominador, a continuación, por orden ascendente numerador, es decir, $$ \frac12,\quad \frac13,\frac23,\quad\frac14,\frac34,\quad\frac15,\frac25,\frac35,\frac45,\quad\frac16,\frac56,\quad\frac17,\frac27,\frac37,\ldots$$ Por esto, el denominador de $x_n$ $\le n+1$ porque para cada denominador $d$ tenemos al menos una entrada de $\frac1d$ en esta lista. Por tanto, para $k<n$ hemos $x_k=\frac ab$, $x_n=\frac cd$ con $b\le k+1\le n$$d\le n+1$, por lo tanto $$|x_n-x_k|=\frac{|\overbrace{bc-ad}^{\ne0}|}{bd}\ge \frac1{bd}\ge\frac1{n(n+1)}>\frac1{(n+1)^2}.$$
Tenga en cuenta que para los denominadores $d>2$, tenemos al menos dos entradas de $\frac1d$ $\frac{d-1}d$ en la lista. Por lo tanto el denominador de $x_n$ es en el hecho de $\le \frac {n}2+2$. En última instancia, esto nos da una ligera mejora (para $n>2$) $$ |x_n-x_k|>\frac{4}{(n+4)^2}.$$
fianchetto
Puntos
186
Parece que $\dfrac{1}{(n+1)^2}$ puede ser mejorado. Si hacemos la primera cosa que viene a nuestra mente: $$ \frac{1}{2},\,\,\,\frac{1}{3},\frac{2}{3},\,\,\,\frac{1}{4},\frac{3}{4},\,\,\, \frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5},\,\,\, \frac{1}{6},\frac{5}{6},\,\,\,\frac{1}{7},\frac{2}{7},\frac{3}{7},\frac{4}{7}, \frac{5}{7},\frac{6}{7},\ldots $$ a continuación, $x_n$ es una fracción con denominador en $n$, y si $k<n$, $x_k$ ha numerador bien $n+1$ o menos de $n+1$. Si su numerador es$n+1$,$|x_k-x_n|\ge\frac{1}{n+1}$, mientras que si es menor de $n$, luego $$ |x_n-x_k|\ge\frac{1}{n(n+1)}. $$
