¿Hay algo especial acerca de una transformación de una variable aleatoria según su función de densidad, masa?

Question

Digamos que $X\sim p$ donde $p:x\mapsto p(x)$ es un pmf o un pdf. ¿La siguiente variable aleatoria poseen propiedades únicas:

$$Y:=p(X)$$

Parece como $E[Y]=\int f^2(x)dx$ es similar a la Entropía de $Y$, la cual es:

$$ H(Y):=E[-\log(Y)]$$

Parece que siempre podemos hacer esta transformación debido a la forma en que las variables aleatorias son definidos. Alguien ha estudiado o correr a través de la literatura que describe las propiedades de las variables aleatorias transformado por sus propias funciones de distribución?

Una interpretación que puedo ver es que el $E[Y]$ le da el título de "concentración" de la variable aleatoria $X$. ¿Y la varianza?:

$$\int (p(x)-\mu_Y)^2p(x) dx$$

Esto parece para medir el grado de homogeneidad de la función (por ejemplo, va a ser 0 para un uniforme RV)

Me hizo un par de estudios numéricos de algunas distribuciones comunes. Ver a continuación:

Answer 1

(Estoy editando esto porque parece que el uso de $F$ para denotar el PDF, no la CDF. ¿Es así?)

Para ampliar Rahul comentario de algo, vamos a $X$ ser un valor real variable aleatoria continua (atomless) la distribución, es decir, su CDF $F_X$ es una función continua. Deje $a < b$ ser cualquiera de los dos valores distintos que $X$. Entonces

$$ P(a \leq X \leq b) = F_X(b)-F_X(a) $$

Desde $F_X$ es monótona no decreciente, si $Y = F_X(X)$, luego

$$ P(F_X(a) \leq Y \leq F_X(b)) = P(a \leq X \leq b) = F_X(b)-F_X(a) $$

y, más en general, desde la $F_X$ es a $(0, 1)$ (porque se supone que es continua), para $u, v \in (0, 1)$,

$$ P(u \leq Y \leq v) = v-u $$

Por lo tanto, $Y$ es una variable aleatoria uniformemente distribuida entre $0$$1$.

Si, por el contrario, dejamos $Y = f_X(X)$ (donde $f_X$ es el PDF de $X$, y de nuevo $X$ es atomless, para mantener el $f_X$ valor real), a continuación, $E(Y)$ hecho de medir, en cierto sentido, la concentración de $X$. Esta pregunta ha sido visitado al menos una vez antes, con un poco concisa respuesta:

Nombre/significado de la integral del cuadrado de una función de densidad de probabilidad

Para lo que vale.