Encontrar una forma cerrada de la serie $\sum_{n=0}^{\infty} n^2x^n$

Question

La pregunta que me he dado es la siguiente:

Usando ambos lados de esta ecuación:

$$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^n$$

Encontrar una expresión para $$\sum{n=0}^{\infty} n^2x^n$ $ y luego usarlo para encontrar una expresión para $$\sum{n=0}^{\infty}\frac{n^2}{2^n}$ $

Esto es lo más cercano que he conseguido:

\begin{align} \frac{1}{1-x} & = \sum{n=0}^{\infty} x^n \ \frac{-2}{(x-1)^3} & = \frac{d^2}{dx^2} \sum{n=0}^{\infty} x^n \ \frac{-2}{(x-1)^3} & = \sum{n=2}^{\infty} n(n-1)x^{n-2} \ \frac{-2x(x+1)}{(x-1)^3} & = \sum{n=0}^{\infty} n(n-1)\frac{x^n}{x}(x+1) \ \frac{-2x(x+1)}{(x-1)^3} & = \sum{n=0}^{\infty} (n^2x + n^2 - nx - n)\frac{x^n}{x} \ \frac{-2x(x+1)}{(x-1)^3} & = \sum{n=0}^{\infty} n^2x^n + n^2\frac{x^n}{x} - nx^n - n\frac{x^n}{x} \ \end{align}

Cualquier ayuda es apreciada, gracias :)

Answer 1

$\displaystyle \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^n$

Diferenciar (y multiplicando con $x$) tenemos,

$\displaystyle \frac{-x}{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^{\infty}nx^n$

Diferenciar (y multiplicando con $x$) que tenemos,

$\displaystyle \frac{[(1-x)^2(-1)-(-x)2(1-x)(-1)]x}{(1-x)^4}=\sum_{n=0}^{\infty}n^2x^n$

Answer 2

hay un signo mal en la primera diferenciación. Yo diría:

$\displaystyle \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^n$

Diferenciar (y multiplicando con $x$) tenemos,

$\displaystyle \frac{x}{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^{\infty}nx^n$

Diferenciar (y multiplicando con $x$) que tenemos,

$\displaystyle \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}=\sum_{n=0}^{\infty}n^2x^n$

Answer 3

Sugerencia: $n^2=n(n-1)+n$ y $x^2 x^{n-2}=x^n$.

Answer 4

Tienes $\sum{n\geq 0} n(n-1)x^n$, modulo multiplicar por $x^2$. Distinguir una sola vez su serie inicial de energía y podrás encontrar $\sum{n\geq 0} nx^n$. Luego tomar la suma de $\sum{n\geq 0} n(n-1)x^n$ y $\sum{n\geq 0} nx^n$. ¿Cuáles son los coeficientes?