En un cuadrado con longitudes de lado de unidad hay dos círculos idénticos que son tangentes entre sí y dos caras del cuadrado. Encuentra el radio?

Question

En un cuadrado con longitudes laterales$1$, hay dos círculos idénticos que son tangentes entre sí y dos caras del cuadrado. ¿Cuál es el radio de los círculos?

He gastado un poco de tiempo tratando de resolver esto, como parte de un problema mayor.

Answer 1

Mira el círculo en la parte superior izquierda de la esquina. Deje $r$ ser el radio del círculo. Si usted dibuja radios a los dos lados de la plaza, se termina con un cuadrado de lado de longitud $r$. Por otra parte, la diagonal de este cuadrado es de longitud $r\sqrt{2}$.

Por lo tanto, la diagonal del cuadrado grande está compuesta de dos radios y dos segmentos de longitud $r\sqrt{2}$. Por lo tanto, la diagonal del cuadrado es $$ 2r(1+\sqrt{2}). $$ Sin embargo, la diagonal es también de la longitud de la $\sqrt{2}$, a partir de aquí, se puede resolver para $r$.

Answer 2

Imaginar el cuadrante superior izquierdo de la plaza. Dibujar horizontal y vertical de los segmentos de línea a través del centro del círculo entre la izquierda/derecha y arriba/abajo de los lados del cuadrante. Esto crea 4 rectángulos en el cuadrante (arriba a la izquierda y abajo a la derecha los rectángulos son cuadrados). Deje $r$ ser el radio de la circunferencia. El área de los cuatro rectángulos son: $r^2, \frac{\sqrt{2}}2r^2, \frac{r^2}2, \frac{\sqrt{2}}2r^2$ (¿por qué no inferior derecha del rectángulo tiene lados de $\frac{\sqrt{2}}2r$?) El área total de cuadrante es la suma de todos los 4 rectángulo. Área de cuadrante también es $\frac14$, lo $\frac14 = r^2 + 2 \frac{\sqrt{2}}2r^2+ \frac{r^2}2$ a partir de que $r$ puede ser calculado.

Answer 3

Permita que$r$ sea el radio de nuestros círculos.

Por lo tanto,$$r\sqrt2+2r+r\sqrt2=\sqrt2$ $ o$$\sqrt2(1+\sqrt2)r=1$ $ o$$\sqrt2r=\sqrt2-1$ $ o$$r=1-\frac{1}{\sqrt2}.$ $

Answer 4

Tanto las diagonales a través de la plaza le toque o diseccionar en el punto de la tangente de los círculos. Deje que la longitud del lado del cuadrado estar L. de ello Se desprende que las diagonales tienen la longitud Sqrt(2) x L. La tangencial punto se encuentra en el punto medio de eso y Sqrt(2)/2 x L distante de cualquier esquina. Este es también el diámetro de los círculos.

Como requieren los radios de los círculos son, de nuevo, la mitad de los diámetros; Sqrt(2)/2/2 x L = Sqrt(2)/4 x L.

Referencias; Pitágoras.

La leyenda; Sqrt(2) = raíz Cuadrada de 2. MathJax me obliga a Salir de la Página.