Por ejemplo, supongamos $\Omega$ ser la región de $Re(z)>1$ que se conecta, y deje $f(z)=z^9$. Quiero encontrar una fórmula explícita para $\log{f(z)}$ tal que $\log{f(z)}$ es holomorphic en $\Omega$ y $\log{f(z)}$ coincide con $\log{x^9}$ para todos los verdaderos $x>1$.
Aquí está cómo lo hice:
Desde $f$ es holomorphic y nonvanishing en $\Omega$, hay un holomorphic función de $g(z)$ $\Omega$ tal que $e^{g(z)}=f(z)=z^9$ y $g(x)=9\log{x}$ real $x>1$.
Del mismo modo, hay una holomorphic función de $h(z)$ $\Omega$ tal que $e^{h(z)}=z$ y $h(x)=\log{x}$ real $x>1$.
Ya que para todo real $x>1$ tenemos $g(x)-9h(x)=0$, podemos decir que el$g(z)-9h(z)=0$$\Omega$.
Por otro lado, podemos escribir $h(z)=\log{|z|}+i\arg{z}$ $\Omega$ donde $\arg{z}\in(-\pi,\pi)$.
Así, desde la $g(z)=9h(z)$$\Omega$, $g(z)=9\log{|z|}+9i\arg{z}$ donde $\arg{z}\in (-\pi,\pi)$.
Mi argumento es correcto o no? Si es así, entonces ¿cómo puedo ver la fórmula para $g(z)$ directamente? Por otra parte, si $f(z)$ no es tan simple como un polinomio, ¿cómo puedo dar la fórmula para $\log{f(z)}$ tal que $\log{f(z)}$ es holomorphic?
Muchas gracias.
