No estoy seguro de que todos los automorphism grupos de variedades algebraicas han naturales algebraica de la estructura del grupo. Pero si el automorphism grupo de una variedad algebraica de la estructura del grupo, ¿cómo puedo saber el automorphism grupo algebraica de grupo. Por ejemplo, el automorphism grupo de una curva elíptica $A$ es una extensión del grupo de $G$ de automorfismos que preservan la estructura de la curva elíptica, por el grupo $A(k)$ de traducciones en los puntos de $A$, es decir, la secuencia de grupos $0\to A(k)\to \text{Aut}(A)\to G \to 0$ es exacta, ver Springer en línea ref - automorphism grupo algebraico de variaties. En este ejemplo, ¿cómo puedo saber $\text{Aut}(A)$ algebraica de grupo.
Respuestas
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No siempre es cierto que la automorphism grupo de una variedad algebraica tiene una natural algebraica de la estructura del grupo. Por ejemplo, el automorphism grupo de $\mathbb{A}^2$ incluye todos los mapas de la forma $(x,y) \mapsto (x, y+f(x))$ donde $f$ es cualquier polinomio. No he pensado en cómo decir esto, precisamente en términos de functors, pero este subgrupo moralmente debe ser conectado a un infinito de dimensiones del objeto, y por tanto no es un subobjeto de un algebraica de grupo.
Por otro lado, creo que la automorphism grupo de un algebraica proyectiva variedad, $X$, puede ser, dada la estructura algebraica de grupo de una forma bastante natural. Esto es algo que he pensado yo, pero no escribiendo una cuidadosa prueba ni encontró una referencia para: Para cualquier automorphism $f$$X$, considere la gráfica de $f$ como subscheme de $X \times X$, y por lo tanto un punto del esquema de Hilbert de $X\times X$. De esta manera, obtenemos una incrustación de punto conjuntos de $\mathrm{Aut}(X)$ a $\mathrm{Hilb}(X\times X)$.
Yo creo que debería ser fácil demostrar que (1) $\mathrm{Aut}(X)$ está abierto en $\mathrm{Hilb}(X\times X)$, y por lo tanto adquiere un natural esquema de la estructura y (2) la composición de automorfismos es un mapa de los esquemas.
Herms
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En [Matsusaka, T. Polarizada variedades, campos de módulos y generalizada Kummer variedades de polarizado abelian variedades. Amer. J. Math. 80 1958 45--82.] está demostrado que un no-singular variedad proyectiva tiene un máximo algebraicas grupo de automorfismos (es decir, cada grupo que actúa en la variedad automorfismos contiene un máximo algebraicas subgrupo)
[Matsumura, Hideyuki; Oort, Frans. La representabilidad de grupo functors, y automorfismos algebraico de los esquemas. Inventar. De matemáticas. 4 1967 1--25.] muestra el automorphism grupo (de una expresión algebraica correcta esquema sobre un campo) es representable por un esquema de grupo.
Mykroft
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Si a es una curva elíptica entonces G (en su notation) es finito. Sin embargo, parece que para una plaza de una curva elíptica se puede conseguir algo infinito y muy lejos de ser algebraicas. Si $A=B\times B$, $B$ es un 'general' de la curva elíptica, entonces parece que $G(A)=GL_2(\Bbb Z)$; esto es un 'grande' grupo discreto. Otro ejemplo es el de un abelian variedad con complejo multplication: el grupo de unidades en un poco de orden en algunos CM-campo de más de $\Bbb Q$, y esto es infinito si este campo no es cuadrática. Creo que, en estos ejemplos no es difícil probar que Aut(A) no es una expresión algebraica de grupo.
Rodrick Chapman
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Esto es realmente un comentario en el que Pete comentario para Mikhail respuesta, pero estoy haciendo de él una respuesta, porque se plantea una pregunta que creo que debería ser más ampliamente conocido.
La construcción de Aut-esquema de los usos de la totalidad del esquema de Hilbert, que ha countably muchos de los componentes (debido a la variación de Hilbert polinomios), y no es obvio cómo muchas de estas intervenir en la construcción. Mikhail respuesta ilustra el ejemplo básico que muestra de ello puede ser infinito. Pero esto nos lleva al siguiente problema (sugerido por lo que se sabe acerca de Nerón-Severi grupos, cuya construcción se encuentra con el mismo problema a través de la construcción de Pic esquemas en términos de esquemas de Hilbert, al menos en el original de Grothendieck de la construcción):
P. ¿la Aut esquema de un adecuado esquema de más de una alg. campo cerrado tienen finitely generado componente del grupo? (Esta es una pregunta básica de la finitud, que es realmente el que Pete comentario a Mikhail respuesta.)
Increíblemente, incluso para el buen variedades proyectivas sobre C esto parece ser un gran problema abierto!! He mencionado esto a varios expertos en alg. geom. (incluyendo Oort), y nadie tiene una idea. Si alguien tiene una idea o una solución, por favor, hágamelo saber de inmediato.
