¿Cómo demostrar que la definición categórica de subgrupo generado por un subconjunto en el libro de Aluffi está bien definida?

Question

En el libro de Aluffi "Álgebra: Capítulo 0", utiliza el definición categórica de grupo libre en pp. 71 También se puede ver en wiki . Esto define el grupo libre hasta el isomorfismo de grupo. Esto es fácil de conseguir.

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Ahora el problema es que también utiliza esto para definir el subgrupo generado por un subconjunto en pp. 81 . Lo pongo aquí:

Definición (Subgrupo generado por un subconjunto). Dejemos que $G$ ser un grupo. Si $A\subset G$ es cualquier subconjunto, tenemos un único homomorfismo de grupo $$\varphi_A: F(A)\to G,$$ por la propiedad universal de grupo libre. La imagen de este homomorfismo es un subgrupo de $G$ El subgrupo generado por $A$ en $G$ , de ahora en adelante denotado como $\langle A\rangle$ .

Esto conducirá naturalmente a una duda sobre la buena definición, es decir, ¿depende esta definición de la elección del grupo libre $F(A)$ que es único hasta el isomorfismo de grupo?

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No sé cómo demostrar que está bien definido. Lo que sé es que si uno puede demostrar la buena definición, entonces es fácil demostrar que la definición categórica de subgrupo generado es equivalente a otras dos definiciones que simplemente siguen a la categórica en el libro de Aluffi, ver también aquí .

¿Alguien puede dar algunas pistas o indicios sobre la buena definición? ¡TIA!

Answer 1

Dejemos que $ F'(A)$ sea algún otro grupo libre que sea isomorfo a $F(A)$ a través de $ \psi$ . Dejemos que $ \varphi_A'$ sea el único homomorfismo $ F'(A)\rightarrow G$ . También obtenemos un homomorfismo de $ F'(A) \rightarrow G $ tomando $ \varphi_A\circ \psi$ . Por unicidad, se trata del mismo homomorfismo, por lo que $$\varphi_{A'}(F'(A))=\varphi_A\circ \psi(F'(A))=\varphi_A(F(A))$$ donde la última igualdad se deduce del hecho de que $\psi$ es un isomorfismo.