Encuentra el valor de esta integral.

Question

Hace poco que estoy aprendiendo a integrar, así que perdóname si esto es trivial. Francamente, no estoy seguro de cómo leer esta pregunta; mis intentos son muy desordenados y confusos. Se agradecería mucho una orientación elemental. ¿Está relacionado con el teorema fundamental del cálculo de alguna manera?

Answer 1

Obsérvese que tras la sustitución $x=2t$ tenemos que $$\int_2^4f(x)dx=2\int_1^2f(2t)dt=16\int_1^2f(t)dt=16\int_0^2f(t)dt-16\sqrt{2}.$$ De manera similar, $$ \int_0^2f(t)dt=2\int_{0}^{1}f(2t)dt=16\int_{0}^{1}f(t)dt=16\sqrt{2}.$$ lo que implica que $$\int_2^4f(x)dx=(16^2-16)\sqrt{2}=240\sqrt{2}.$$

P.D. Otro enfoque (aunque muy similar al anterior). $$\int_2^4f(x)dx=\int_0^4f(x)dx-\int_0^2f(x)dx=4\int_0^1f(4t)dt-2\int_0^1f(2t)dt\\=4\cdot 8^2\int_0^1f(t)dt-2\cdot 8\int_0^1f(t)dt =240\sqrt{2}$$

Answer 2

Pista: Cambio de variables $x = 2t$ en $ \int_2^4 f(x)\; dx$