¿Cómo encontrar valores propios de esta transformación lineal?

Question

Tengo un problema en la práctica transformaciones lineales que me gustaría ayudar. Tengo que encontrar los valores y vectores propios de

$$T(ax^2 + bx + c) = bx^2 + cx .$$

Así que yo sé que la idea general es que usted soluciona $T(v) = \lambda v$, por lo que desde allí puedo obtener la expresión:

$$bx^2 + cx = \lambda ax^2 + \lambda bx + \lambda c ,$$ lo cual implica que

$$ \begin{align*} b &= \lambda a \\ c &= \lambda b \\ 0 &= \lambda c \end{align*} $$

pero estoy atascado allí. Sé que tenemos una de $a, b, c$ a ser distinto de cero, pero eso sólo funciona si $\lambda = 0$. Incluso después de encontrar los autovalores, ¿cómo es exactamente lo que puedo encontrar los vectores propios, ya que no hay matriz?

Gracias de antemano.

Edit: corregido mi reclamación al estado de que al menos uno de $a, b, c$ debe ser distinto de cero.

Answer 1

Sólo se necesita $a$, $b$, y $c$ a que no todos cero, pero algunos de ellos pueden ser cero.

Empezar con $\lambda c=0$, porque le da la mayoría de la información: o $\lambda=0$ o $c=0$.

Si $\lambda=0$, $c$ tiene que ser cero (por lo que el $c=\lambda b$ mantiene), y $b$ tiene que ser cero (por lo que el $b=\lambda a$ tiene), sino $a$ parece que puede ser cualquier cosa. Que sugiere tratando de polinomios de la forma $ax^2$ $a\neq 0$ y la verificación de que son vectores propios de a $\lambda=0$.

Si $\lambda\neq 0$, $\lambda c = 0$ significa que debemos tener $c=0$. A continuación, $c=0=\lambda b$ le dice que $b$ debe ser cero. Y luego...

Una vez que usted tiene un autovalor $\lambda$, usted encontrar los vectores propios mediante la resolución de $T(v)=\lambda v$, $v\neq\mathbf{0}$.

Permítanme añadir que, si se siente más cómodo con las matrices, siempre se puede calcular una matriz de $T$: primero, escoja una base para el espacio vectorial; por ejemplo, $1$, $x$, y $x^2$. A continuación, calcular el valor de $T$ en la base, y expresar las respuestas en términos de la base: $$\begin{align*} T(1) &= x\\ &= 0(1) + 1(x) + 0(x^2).\\ T(x) &= x^2\\ &= 0(1) + 0(x) + 1(x^2).\\ T(x^2) &= 0\\ &= 0(1) + 0(x) + 0(x^2). \end{align*}$$ Estos le dan las columnas de la matriz de $T$ en relación a la base $\beta=[1,x,x^2]$, por lo que el $T$ es representado (con respecto a esta base) por $$\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right).$$ Encontrar los valores y vectores propios es ahora sencillo; usted va a obtener sus respuestas en términos de las coordenadas de los vectores en relación a la base $\beta$, que luego se puede traducir de nuevo en polinomios por escrito de la forma habitual.