¿Se demuestra la ley del medio excluido?

Question

La ley del medio excluido dice que para cualquier proposición ( $A$ ) o es verdadera o su negación ( $\bar{A}$ ) es cierto: $A\veebar\bar{A}$ .

Cuando me enseñaron lógica matemática, esto se dio como un axioma, pero pensé en una prueba de esta ley. Mi prueba es así:

1) Asignemos letra $L$ para referirse a la ley del medio excluido. Si asumimos que es correcta, se deduce inmediatamente que $L$ es correcto. Supongamos, en cambio, que es errónea: $\bar{L}$ .

2) Si utilizamos la ley del medio excluido, obtendríamos que $L\veebar\bar{L}$ . Pero asumimos que esto es incorrecto. Y la ley podría estar equivocada de dos maneras - o ambas $L$ y $\bar{L}$ podría estar equivocado o ambos son correctos.

3) Hemos supuesto que $\bar{L}$ es cierto, por lo que no puede ser que estén equivocados, por lo que ambos deben ser correctos. Hemos demostrado que $L$ es cierto independientemente de nuestras suposiciones, por lo que está demostrado.

¿Esta prueba está bien o falla lógicamente en alguna parte?

¿Interfiere esto de alguna manera con la materia de completitud de Gödel?

Answer 1

Tienes un problema al asumir que $L$ sea falsa no significa que $L\veebar\bar{L}$ es falso. Sólo significa que $A\veebar\bar{A}$ es falso para alguna declaración $A$ que puede no ser $L$ .

Answer 2

Además de lo que ha señalado Matt, el paso de prueba

Hemos demostrado que [tal cosa] es verdadera independientemente de nuestras suposiciones, por lo que está demostrado.

es peligroso cuando no se tiene la ley del medio excluido. Este paso de la prueba suele depender de un uso implícito de la ley del medio excluido para establecer que al menos uno de los supuestos investigados debe ser cierto. Y, de hecho, lo estás haciendo aquí cuando tus dos supuestos son $L$ y $\overline L$ . Sin la ley del medio excluido, ¡la prueba por contradicción no es válida! (A negado Sin embargo, la afirmación se puede demostrar por contradicción).

Además Parece que usted no argumenta a partir de ningún axioma lógico en particular, sino simplemente a partir de una inspección de la tabla de verdad de $\veebar$ para establecer que $\overline{A\veebar B}$ implica $(A \land B) \lor (\overline A \land \overline B)$ . Sin embargo, si se permite razonar a partir de tablas de verdad, también se podría demostrar la ley del medio excluido directamente escribiendo la tabla de verdad para $V\mapsto V\veebar \overline V$ .

En la lógica intuicionista, que rechaza la ley del medio excluido, tampoco son válidos los argumentos por tablas de verdad.

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Usted peut demostrar la ley del medio excluido si se empieza por suponer otra cosa que sea equivalente a ella. Por ejemplo, la ley $A\Leftrightarrow \overline{\overline A}$ es equivalente al medio excluido, como es la regla de la prueba indirecta $(\overline A\Rightarrow A)\Rightarrow A$ o la ley de Peirce $((A\Rightarrow B)\Rightarrow A)\Rightarrow A$ .

Answer 3

Supongo que la pregunta es realmente "¿es demostrable el LEM a partir de los demás axiomas?", no "¿se demuestra a sí mismo?", porque todo se demuestra a sí mismo.

Además de los problemas mencionados en la respuesta de Matt y en la de Henning, otro problema de la prueba es que no se puede utilizar la falta de LEM para concluir que hay cualquier propuesta $P$ tal que $\neg (P \vee \neg P)$ en realidad tiene . De hecho, no se puede mantener, de lo contrario podríamos deducir $\neg P$ y también podríamos deducir $\neg\neg P$ , obteniendo una contradicción. Por lo tanto $\neg\neg(P \vee \neg P)$ se mantiene. (Obsérvese que la demostración de una afirmación negativa por contradicción no requiere LEM; de hecho, la negación $\neg Q$ puede ser definido como " $Q \to \bot$ " donde $\bot$ denota "contradicción" o "absurdo").

La validez de $\neg\neg(P \vee \neg P)$ es un caso especial del hecho de que siempre que $Q$ es un teorema de la lógica clásica, $\neg \neg Q$ es un teorema de la lógica intuicionista (que es lo que se obtiene al eliminar LEM de la formulación habitual de la lógica clásica).

Así que no es que $P \vee \neg P$ puede ser falso , sólo que sin LEM no tienes forma de derivarlo a menos que (1) sepas que $P$ es verdadera, o (2) usted sabe que $\neg P$ es verdadera ( es decir que $P$ es falso).

Answer 4

Esta ley es un axioma, y si no quieres eso siempre puedes recurrir a la lógica intuicionista, o incluso a las lógicas no bivaluadas (por ejemplo, la lógica difusa).

Veo tus puntos, pero ¿cómo puedes decir que $L$ es verdadera o falsa, si se excluye el tercer medio?

Si excluyes el axioma, no veo cómo puedes afirmar que $L$ puede tener sólo dos valores.

Answer 5

Esta es una derivación estándar de segundo año de Lógica Sentencial de un TEOREMA. No puedo mostrarlo aquí sino en palabras:

1. Prueba $p \wedge \neg p$ .
2. Asumir la negación $\neg(p\wedge \neg p)$
3. y se puede derivar de ahí.