Muestra que $n^3+2n$ es divisible por 3 para todos $n \ge 1$

Question

Quiero probarlo con inducción matemática:

Primero me prueban con n=0 entonces es divisible por cero y luego paso al siguiente paso, cambiar todo con K y luego obtener este producto:

$$P(K)=K^3+2K = 3m$$

Nota: $3k$ porque multiplicamos cualquier no con $3$ es divisible por $3$

Ahora, el siguiente paso es aumentar $+1$ en $k$ así que me toca este paso:

$$(K+1)^3 + 2(K+1) = 3m$$

Así que ahora el siguiente paso no puedo resolverlo, por favor, ayúdame.

Answer 1

Para el paso de inducción:

$(n+1)^3+2(n+1)=n^3+2n+3n+3n^2+3=n^3+2n+3(n+n^2+1)$

$n^3+2n$ es divisible por 3 (por suposición) y el último sumando es obviamente divisible por 3

Observación: Si quiere mostrar una declaración para todos $n\geq k$ entonces se demuestra la afirmación en el primer paso para k, no para $0$ . (En nuestro caso no tendremos ningún problema)

Answer 2

$$\left((n+1)^3+2(n+1)\right)-\left(n^3+2n\right) = 3(n^2+n+1)$$ es siempre un múltiplo de tres, por lo que si $3\mid (n^3+2n)$ entonces $3\mid ((n+1)^3+2(n+1)).$

Answer 3

Una solución alternativa más fácil: Ya que $n^3+2n = n(n^2+2) \equiv n(n^2-1) = (n-1)n(n+1) \pmod 3$ para cualquier $n$ , ya sea $n$ o $n-1$ o $n+1$ es cero, módulo $3$ y por tanto su producto es divisible por $3$ .

Answer 4

$\begin{eqnarray}{\bf Hint}\ \ \ {\rm mod}\ 3\!:\,\ \color{#0a0}{n^3}\! &\equiv& \color{#c00}n\,\ (\equiv\, -2n) &&{\rm i.e.}\ \ \ P(n)\\ \Rightarrow\ (n\!+\!1)^3\! &=& \color{#0a0}{n^3}\! + \color{lightgrey}{3n^2\!+3n}\!+\!1\\ &\equiv& \color{#c00}n + 1 && {\rm i.e.}\ \ \ P(n\!+\!1)\end{eqnarray}$

Answer 5

$\newcommand{\angles}[1]{\left\langle\, #1 \,\right\rangle} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\, #1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, #1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, #1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\floor}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\half}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\pars}[1]{\left(\, #1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large A}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1 \,\right\vert}$ Vamos a $\ds{n \equiv 3p + \delta}$ para un número entero $\ds{p}$ donde $\ds{\delta \in \braces{0,1,2}}$ . Entonces,

\begin {align} n^{3} + 2n& = \pars {27p^{3} + 27p^{2} \delta + 9p \delta ^{2} + \delta ^{3}} + \pars {6p + 2 \delta } \\ [3mm]&= \color {#c00000}{ \Large 3} \pars {9p^{3} + 9p^{2} \delta + 3p \delta ^{2} + 2p} + \underbrace { \pars { \delta ^{3} + 2 \delta }} _{ \ds { \in\ \color {#c00000}{ \Large\braces {0,3,12}}}} \end {align}