Dejemos que $B$ sea una categoría monoidal, y $c$ un monoide en $B$ . Poderes de $c$ se definen tomando $c^{n}$ para ser el $\otimes $ -cadena de longitud $n$ de $c$ en el que los paréntesis están todos delante.
Tenemos una multiplicación utilizando $\mu$ definido por la toma de
$\mu _{e}=\eta, \mu _{c}= 1_{c}, \mu _{c\otimes c}=\mu $ y después $\mu _{u_{c}\otimes v_{c}}=\mu(\mu _{u_{c}}\otimes \mu _{v_{c}})$
Entonces, la multiplicación es, utilizando la notación para potencias de $c$ ,
$\mu ^{0}= \eta $ , $\mu ^{1}=1_{c}$ , $\mu ^{2}=\mu $ y después, $\mu ^{n+1}=\mu \left ( \mu ^{n} \otimes 1\right )$ .
Dejemos que $k_{1},k_{2},\cdots, k_{n}$ sea cualquier conjunto de $n$ enteros.
Entonces, tenemos $c^{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{n}}\overset{\phi }{\longrightarrow} ((c^{k_{1}}\otimes c^{k_{2}})\otimes \cdots \otimes c^{k_{n}})\overset{\mu '}{\longrightarrow}c$ , donde $\phi $ es el mapa canónico dado por la coherencia, y $\mu '$ es $\mu _{ c_{k_{1}}\otimes c_{k_{2}}\otimes c_{k_{3}}\otimes \cdots \otimes c_{k_{n}}}$ con todos los paréntesis por delante. Entonces tenemos el conocido resultado
$1)$ . $\mu '\phi =\mu ^{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{n}}$
Ahora, Mac Lane tiene una fórmula para esta situación: $\mu ^{n}(\left ( \mu ^{k_{1}} \otimes \mu ^{k_{2}}\right )\otimes \cdots \mu ^{k_{n}})=\mu ^{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{n}}$ .
Mi problema es que, cuando resuelvo el LHS de esta ecuación, resulta ser $\mu '$ lo que contradice la ecuación $1)$ .
¿Dónde está mi error?
Edición: Para mostrar mi trabajo, es la inducción en $n$ :
si $n=0$ el resultado es trivial. En lo que sigue, todas las cadenas de $\otimes $ se supone que tienen todos los paréntesis delante.
Entonces $\mu ^{n+1}(\mu ^{k_{1}}\otimes \cdots \otimes \mu ^{k_{n+1}})=(\mu (\mu ^{n}+1))(\mu ^{k_{1}}\otimes \cdots \otimes \mu ^{k_{n+1}})$ por definición de la multiplicación.
Esto es igual a $\mu [\mu ^{n}(\mu ^{k_{1}}\otimes \cdots \otimes \mu ^{k_{n}})\otimes \mu^{k_{n+1}}]$ porque $\otimes $ es un bifunctor.
Ahora aplique la hipótesis inductiva para escribir esto como
$\mu [(\mu _{ c_{k_{1}}\otimes c_{k_{2}}\otimes c_{k_{3}}\otimes \cdots \otimes c_{k_{n}}})\otimes \mu ^{k_{n}+1}]$ y ahora y observando que $\mu ^{k_{n}+1}$ es sólo $\mu _{c^{k_{n}+1}}$ podemos recurrir de nuevo a la definición de la multiplicación, para escribir $\mu _{ c_{k_{1}}\otimes c_{k_{2}}\otimes c_{k_{3}}\otimes \cdots \otimes c_{k_{n+1}}}$ .
