Actualmente estoy leyendo S. Shreve del libro Estocástico Cálculo II, y tengo una pregunta respecto a Ejemplo 1.6.4 (p.35-36), que describe un cambio de la medida, pero estoy perplejo por la notación.
$\Omega=[0,1], \mathbb{P}$ es el uniforme de la medida y $$\tilde{\mathbb{P}}[a,b]=\int_a^b 2\omega d\omega=b^2-a^2$$ para $0\le a\le b \le 1$.
El primer paso es:
Podemos usar el hecho de que $\mathbb{P}(d\omega) = d\omega$ a escribir la ecuación anterior como $$\tilde{\mathbb{P}}[a,b]=\int_a^b 2\omega d\mathbb{P}(\omega).$$
Tengo varias preguntas acerca de esta declaración:
- $\mathbb{P}$ es una medida de probabilidad de $\mathcal{F}\rightarrow\mathbb{R}$, no puedo encontrar una definición clara en el libro lo $\mathbb{P}(d\omega)$ significa en realidad. Es $d\omega$ realmente un evento?
- ¿Por qué esta $\mathbb{P}(d\omega) = d\omega$ ayudar en la reescritura, no necesitamos $d\mathbb{P}(\omega) = d\omega$?
- ¿Qué $\mathbb{P}(d\omega) = d\omega$ significa y por qué es esto cierto?