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¿Qué significa en concreto?

Actualmente estoy leyendo S. Shreve del libro Estocástico Cálculo II, y tengo una pregunta respecto a Ejemplo 1.6.4 (p.35-36), que describe un cambio de la medida, pero estoy perplejo por la notación.

$\Omega=[0,1], \mathbb{P}$ es el uniforme de la medida y $$\tilde{\mathbb{P}}[a,b]=\int_a^b 2\omega d\omega=b^2-a^2$$ para $0\le a\le b \le 1$.

El primer paso es:

Podemos usar el hecho de que $\mathbb{P}(d\omega) = d\omega$ a escribir la ecuación anterior como $$\tilde{\mathbb{P}}[a,b]=\int_a^b 2\omega d\mathbb{P}(\omega).$$

Tengo varias preguntas acerca de esta declaración:

  1. $\mathbb{P}$ es una medida de probabilidad de $\mathcal{F}\rightarrow\mathbb{R}$, no puedo encontrar una definición clara en el libro lo $\mathbb{P}(d\omega)$ significa en realidad. Es $d\omega$ realmente un evento?
  2. ¿Por qué esta $\mathbb{P}(d\omega) = d\omega$ ayudar en la reescritura, no necesitamos $d\mathbb{P}(\omega) = d\omega$?
  3. ¿Qué $\mathbb{P}(d\omega) = d\omega$ significa y por qué es esto cierto?

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Luca Stein Puntos 26

Este tipo de cosas a menudo me fastidiaron y aquí están algunas ideas que he tenido en este tiempo.

  1. Antes de preguntar lo $\mathbb{P}(d\omega)$ significa, que uno debería aclarar lo $d\omega$ medios. Si usted pregunta a un físico, ellos le dirán que es un "diferencial" o "incremento infinitesimal". Sin embargo, nunca he entendido realmente lo que en realidad es, ni he visto a una definición precisa. Una manera de dar a $d\omega$ un significado preciso definirla como una forma diferenciada el uso de Cartan del cálculo, es decir, que la definen como el exterior derivada de la función identidad. Por lo tanto $d\omega$ es simplemente una 1-forma. Por otro lado uno no debe molestar mucho acerca de lo $d\omega$ significa por sí mismo. En su lugar, entender $\int\ldots d\omega$ como una notación para la integral con respecto a la medida de Lebesgue en uso $\omega$ como una variable. (En general, esto denota la integral con respecto a la Elección de la medida de la base del grupo). Nota, en particular, que $d\omega$ determina tanto la medida y la variable de integración. Ahora estamos en el caso donde se desea integrar con respecto a algunos otros (probabilidad) de medida $\mathbb{P}$. Luego escribimos $\int\ldots\mathbb{P}(d\omega)$ o $\int\ldots d\mathbb{P}(\omega)$ a fin de expresar que $\mathbb{P}$ es la medida que queremos usar y $\omega$ es la variable.

  2. No hay ninguna diferencia entre la escritura $\mathbb{P}(d\omega)$ o $d\mathbb{P}(\omega)$. Ambos se utilizan para escribir la misma integral y, de nuevo, uno no debe molestar mucho acerca de la "literal" del significado de esos símbolos.

  3. Si el autor escribe $\mathbb{P}(d\omega)=d\omega$, entonces este es más o menos descuidado notación abreviada para decirle que $\mathbb{P}$ ya está la restricción (a $[0,1]$) de la medida de Lebesgue y de ahí, por convención, no mencionamos la medida explícitamente.

Sólo una observación final: la Integración y la Diferenciación tiene una historia tan larga y con tantos puntos de vista se han establecido a lo largo del tiempo (teoría de la medida, formas diferenciales, integrales como lineal funcionales, etc.) que el (histórico) notación se vuelve borrosa y poco a esta $dx$ es mucho menos inocente de lo que parece.

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