Sea $E$ sea un subconjunto de $\mathbb{R}$ .
Supongamos que $\forall x\in E, x$ es un punto límite de $E\setminus\{x\}$ .
Entonces, es $E$ ¿Medible por Lebesgue?
Por ejemplo, cualquier subconjunto perfecto, subconjunto abierto o subconjunto conexo son ejemplos de $E$ que son medibles por Lebesgue. No se me ocurre ningún contraejemplo para esto.. Es $E$ ¿son siempre medibles en Lebesgue?
No, tal $E$ no tienen por qué ser mensurables:
Sea $A$ sea un conjunto no medible. Entonces $E=A\cup(\Bbb Q\setminus A)$ no es medible (en caso contrario, $A=\bigl( A\cup (\Bbb Q\setminus A)\bigr) \cap( \Bbb Q\setminus A)^C$ sería mensurable).
Pero, como $\Bbb Q\subset E$ cada punto $x$ en $E$ es un punto límite de $E \setminus\{x\}$ .
Lemma: Sea $E \subset \Bbb{R}$ ser incontable. Existe un conjunto contable $F\subset E$ tal que $E\setminus F$ satisface su suposición.
Prueba: Sea
$$F := \{x \in E \mid \exists U_x \text{ neighbourhood of } x \text{ s.t. } U_x \cap E \text{ is countable}\}.$$
La cobertura abierta $(U_x)_{x \in F}$ de $F$ tiene una subcubierta contable $(U_{x_n})_n$ (porque $\Bbb{R}$ es 2º contable), de modo que $F \subset \bigcup_n U_{x_n} \cap E$ es contable.
Para $x \in E\setminus F$ y $U$ barrio de $x$ sabemos que $E\cap U$ es incontable. Porque $F$ es contable, se obtiene que $E\setminus (F \cup \{x\})$ no es vacío. $\square$
Tomemos ahora cualquier conjunto no medible $N$ Elige $F\subset N$ como arriba. Entonces $N\setminus F$ no es medible (¿por qué?), pero cumple sus supuestos.
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