¿Cómo demostrar esta desigualdad con la siguiente condición?

Question

Dejemos que $x$ , $y$ , $z$ sean tres números reales positivos que satisfagan \begin{equation} x + y +z + 1 =4xyz.\tag{1} \end{equation} Demostrar que \begin{equation} xy + yz + zx \geqslant x + y + z.\tag{2} \end{equation} ¿No sé cómo empezar?

Answer 1

En primer lugar, voy a reetiquetar $x$ , $y$ y $z$ a $\alpha$ , $\beta$ y $\gamma$ . A continuación, consideramos el polinomio cúbico $$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$ Suponiendo que esto tenga raíces $\alpha$ , $\beta$ y $\gamma$ Utilizando el teorema del factor, expandiendo los paréntesis y juntando los coeficientes obtenemos las relaciones: $$ -\frac{d}{a} = \alpha\beta\gamma $$ $$ \frac{c}{a} = \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha$$ $$ - \frac{b}{a} = \alpha + \beta + \gamma $$

Entonces tenemos una condición sobre los coeficientes del polinomio a considerar en su lugar. Es de esperar que la desigualdad surja al considerar las condiciones de los coeficientes para que un polinomio cúbico tenga tres raíces reales positivas.

Answer 2

Dejemos que $F(x,y,z)=x+y+z+1-4xyz$ y $G(x,y,z)=xy+yz+zx-x-y-z$ . Entonces deseamos minimizar $G$ con sujeción a $F=0$ y así poder utilizar multiplicadores de lagrange. Entonces los siguientes son cero en un punto crítico: $$F_xG_y-F_yG_x=(x-y)(2z-1)^2,$$ $$F_yG_z-F_zG_y=(y-z)(2x-1)^2,$$ $$F_zG_x-F_xG_z=(z-x)(2y-1)^2.$$ Aquí no podemos tener $x=y=z=1/2$ y satisfacer $F=0$ , por lo que en cualquier punto crítico dos de las variables son iguales. Por simetría pongamos $x=y=s$ y $z=t$ Entonces $G=0$ da $t=1/(2s-1)$ . Y en este caso $F$ se convierte en $s^2-2s+1=(s-1)^2 \ge 0.$

Tenga en cuenta que esta técnica se aplica al caso $x,y,z \ge 0$ ya que $F=0$ es inconsistente con cualquiera de $x,y,z$ ser $0$ . Así que el mínimo de $G$ debe ocurrir en un punto crítico, y ese min es cero como en el caso anterior, haciendo verdadera la desigualdad deseada.

Answer 3

He aquí una prueba aburrida y poco estimulante pero elemental ^_^. Por $(1)$ y A.M. $\ge$ G.M., obtenemos $xyz = (x+y+z+1)/4 \ge (xyz)^{1/4}$ . Por lo tanto, $xyz\ge1$ . WLOG, suponga $0<x\le y\le z$ . Hay tres casos. Caso 1: $x\ge1$ . Claramente $(2)$ se mantiene. Caso 2: $0<x<1\le y< z$ . Entonces $(2)$ también se mantiene porque $$1-xyz\le0\le(1-x)(1-y)(1-z) = 1 - (x+y+z) + (xy+yz+zx) - xyz.$$ Caso 3: $0<x\le y<1<z$ . Entonces \begin{align*} (2)&\Leftrightarrow z(x+y) + xy \ge x+y+z,\\ &\Leftrightarrow z(x+y-1) + xy - x-y\ge0,\\ &\Leftrightarrow z(x+y-1)-1 + (x-1)(y-1) \ge0. \end{align*} Por lo tanto, basta con demostrar que $z(x+y-1)-1\ge0$ . Desde $x,y,z$ son positivos, debemos tener $4xy>1$ de lo contrario, el LHS de $(1)$ será estrictamente mayor que el RHS. Ahora $(1)$ implica que $z=(x+y+1)/(4xy-1)$ . Por lo tanto, $$ z(x+y-1)-1 =\frac{(x+y+1)(x+y-1)-(4xy-1)}{4xy-1} =\frac{(x-y)^2}{4xy-1} \ge0 $$ y hemos terminado. A partir de los detalles de los tres casos anteriores, se puede demostrar que la igualdad en $(2)$ se mantiene si $x=y=z=1$ .

Answer 4

Dejemos que $x+y+z=3u$ , $xy+xz+yz=3v^2$ y $xyz=w^3$ .

Por lo tanto, la condición da $3u+1=4w^3$ que no depende de $v^2$ .

Tenemos que demostrar que $v^2\geq u$ para lo cual basta con demostrarlo para un valor mínimo de $v^2$ .

En otra mano $x$ , $y$ y $z$ son raíces positivas de la siguiente ecuación. $$X^3-3uX^2+3v^2X-w^3=0$$ o $$3v^2X=-X^3+3uX^2+w^3.$$ Dejemos que $f(X)=-X^3+3uX^2+w^3$ .

Por lo tanto, la línea $Y=3v^2X$ y el gráfico de $f$ tienen tres puntos comunes y $v^2$ obtiene un valor mínimo,

cuando la línea $Y=3v^2X$ es una línea tangente a la gráfica de $f$ ,

lo que ocurre para el caso de igualdad de dos variables.

Dejemos que $y=x$ .

Por lo tanto, la condición da $z=\frac{1}{2x-1}$ , donde $x>\frac{1}{2}$ y tenemos que demostrar que $$x^2+\frac{2x}{2x-1}\geq2x+\frac{1}{2x-1}$$ o $$x^2-2x+\frac{2x-1}{2x-1}\geq0$$ o $$(x-1)^2\geq0.$$ ¡Hecho!