Límite de las derivadas de funciones convexas

Question

Dejemos que $(f_n)_ {n\in\mathbb{N}}$ sea una secuencia de convexo funciones diferenciables en $\mathbb{R}$ .

Supongamos que $f_n(x)\xrightarrow[n\to\infty]{}f(x)$ para todos $x\in\mathbb{R}$ .

Dejemos que $D:=\{x\in\mathbb{R}\,|\,f\text{ is differentiable in }x\}$ . He leído que $f_n'(x)\xrightarrow[n\to\infty]{}f'(x)$ para todos $x\in D$ .

¿Por qué es cierto? ¿Cómo puedo demostrarlo?

Además, ¿es cierto que $f$ ¿es una función convexa? Como consecuencia $\mathbb{R}\smallsetminus D$ sería como máximo contable.

Editar después del comentario de did : claramente $f$ es convexo.

Answer 1

Desde $f$ es convexo, existen las derivadas izquierda y derecha $f'_{-},f'_{+}$ en cada punto.

Para cualquier $x\in\mathbb{R}$ y para cualquier $\epsilon>0$ es posible demostrar que existe $N\in\mathbb{N}$ tal que $$f'_{-}(x)-\epsilon < f_n'(x) < f'_{+}(x)+\epsilon$$ para todos $n\geq N$ . En consecuencia, si $x\in D$ entonces $f_n'(x)\xrightarrow[n\to\infty]{}f'(x)$ .

¿Cómo demostrarlo? En primer lugar, por definición de la derivada correcta, existe $h>0$ tal que $$\frac{f(x+h)-f(x)}{h} < f'_{+}(x) + \epsilon$$ Entonces, como $f_n$ converge a $f$ existe $N\in\mathbb{N}$ tal que $$\frac{f_n(x+h)-f_n(x)}{h} < f'_{+}(x) + \epsilon$$ Ahora, utilice la convexidad y la diferenciabilidad de $f_n$ para observar que $$f_n'(x)\leq\frac{f_n(x+h)-f_n(x)}{h}$$ Concluir $f_n'(x)<f'_{+}(x) + \epsilon$ . Un razonamiento similar sirve para demostrar la otra desigualdad.

Answer 2

Podemos ir más allá utilizando el caso particular ya demostrado: si $(x_{n})$ es una secuencia en $\mathbb{R}$ convergiendo a un punto $x\in D$ entonces

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f_{n}'(x_{n})=f'(x)$

Para demostrarlo, utilizaremos que $D$ es denso en $\mathbb{R}$ y la derivada $f'$ es continua en relación con $D$ (este teorema está en el libro clásico Análisis convexo por Rockafellar)

Tomemos secuencias de números positivos $(\varepsilon_{n})_{n}$ y $(\widetilde{\varepsilon}_{n})$ convergiendo a $0$ tal que $x-\varepsilon_{n}, x+\widetilde{\varepsilon}_{n}\in D$ para todos $n$ .

Arreglar $n$ y tomemos $m_{0}$ tal que para todo $m\geq m_{0}$ ,

$-\varepsilon_{n}<x_{m}-x<\widetilde{\varepsilon}_{n}$ , equivalentemente $x-\varepsilon_{n}<x_{m}<x+\widetilde{\varepsilon}_{n}$

Usando eso $f_{m}'$ es creciente, tenemos

$f_{m}'(x-\varepsilon_{n})\leq f_{m}'(x_{m})\leq f_{m}'(x+\widetilde{\varepsilon}_{n})$ para todos $m\geq m_{0}$

Por lo tanto, si $L$ es un punto límite de la secuencia $(f'_{m}(x_{m}))$ utilizando su proposición obtenemos

$f'(x-\varepsilon_{n})\leq L\leq f'(x+\widetilde{\varepsilon}_{n})$

Haciendo $n\rightarrow\infty$ y utilizando la continuidad de $f'$ , obtenemos que $L=f'(x)$ . Desde $L$ es un punto límite arbitrario de $(f_{m}'(x_{m}))$ concluimos que

$\lim\limits_{m\rightarrow\infty}f_{m}'(x_{m})=f'(x)$