Ejemplo sencillo de anillo no aritmético (red ideal no distributiva)

Question

¿Puede alguien dar un ejemplo concreto y sencillo de un anillo conmutativo y unitario no aritmético (es decir, un anillo conmutativo y unitario en el que la red de ideales no es distributiva)?

Answer 1

Sugerencia $ $ La distributividad permite fácilmente que un ideal finitamente generado sea $\,1\,$ si contiene un elemento anulable $\rm\,u\,$ es decir $\rm\,lcm$ -coprime a los generadores. Por ejemplo, para un $2$ -ideal generado $\rm\,(x,y)$

Lema $\,\ $ Si $\rm\ x,\,y\,$ y cancelable $\rm\,u\,$ son elementos de un anillo aritmético entonces $$\rm\ \begin{array}{}\rm (u)\cap(x)\ =\ (u\,x)\\ \rm (u)\cap(y)\ =\ (u\,y)\end{array}\ \ \ and\ \ \ (u) \subseteq (x,y)\ \ \Rightarrow\ \ (x,y) = 1$$

Prueba $\rm\ \ (u) = (u)\cap(x,y) = (u)\cap(x) + (u)\cap(y) = u\ (x,y)\,$ así que $\rm\,(x,y)=1\,$ al cancelar $\rm\,u$

Nota: $ $ Así pues, para demostrar que un dominio no es aritmético basta con exhibir elementos que violen el lema. Eso es fácil, por ejemplo, poner $\rm\ u = x+y\ $ para $\rm\ x,y \in \mathbb Q[x,y]\,,\, $ o $\rm\ x,\,y=2\in \mathbb Z[x]\,.$

Los dominios aritméticos son mucho más conocidos como dominios de Prüfer. Son generalizaciones noetherianas de los dominios Dedekind. Su ubicuidad se debe a una notable confluencia de interesantes caracterizaciones. Por ejemplo, son aquellos dominios que satisfacen: $\rm CRT$ (Teorema del Resto Chino) para ideales, o el Lemma de Gauss para ideales de contenido polinómico, o para ideales: $\rm\ A\cap (B + C) = A\cap B + A\cap C\,,\ $ o el $\rm\, GCD\cdot LCM\,$ ley: $\rm\, (A + B)\ (A \cap B) = A\ B\,,\ $ o $\,$ "contiene $\rm\Rightarrow$ divide" $\rm\ A\supset B\ \Rightarrow\ A\,|\,B\ $ para un sistema de generación finita $\rm\,A\,$ etc. Se calcula que hay más de $100$ caracterizaciones conocidas, por ejemplo, véase mi respuesta anterior por cerca de $30$ interesante tal.

Answer 2

En el ring $K[X,Y]$ , donde $K$ es un campo y $X$ y $Y$ son indeterminados, tenemos

$$(X+Y)\cap\Big((X)+(Y)\Big)\not\subset\Big((X+Y)\cap (X)\Big)+\Big((X+Y)\cap (Y)\Big).$$

[¡Gracias a Bill Dubuque por haber señalado un error tipográfico catastrófico!]

Answer 3

Un dominio integral conmutativo es "aritmético" en el sentido que se especifica si es un Dominio de Prüfer es decir, si cada ideal no nulo generado finitamente es invertible. Esta clase de dominios es famosamente robusta: hay una lista increíblemente larga de caracterizaciones equivalentes: véase, por ejemplo, el comienzo de este documento para algunas caracterizaciones. Para demostrar que un dominio es aritmético si sus ideales generados finitamente son invertibles, véase, por ejemplo, el teorema 6.6 del texto de Larsen y McCarthy Teoría multiplicativa de los ideales .

Obsérvese, en particular, que un dominio noetheriano es Prüfer si es Dedekind, es decir, si es integralmente cerrado y de dimensión Krull a lo sumo uno. Por lo tanto, abundan los ejemplos de anillos con una red de ideales no distributiva, por ejemplo

Para cualquier campo $k$ , $k[t_1,\ldots,t_n]$ , $n \geq 2$ . (La dimensión es mayor que uno).
Para cualquier dominio noetheriano de no campo $k$ , $k[t_1,\ldots,t_n]$ , $n \geq 1$ . (La dimensión es mayor que uno).
$\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ , $k[t^2,t^3]$ para cualquier campo $k$ . (Los anillos no están cerrados integralmente).

Y así sucesivamente...