Curvatura escalar positiva en la dimensión 4

Question

Deje $M^n$ ser un equipo compacto simplemente conectado spin colector.

Gromov, Lawson, y Stolz demostrado que si $n\geq 5$, $M$ admite una métrica de positivo escalar de curvatura de la fib $\alpha(M)=0$.

Pregunta: ¿Qué sucede en la dimensión 4?

1. Hay compacto simplemente conectado spin colectores de dimensión 4 que tienen una métrica de positivo escalar de curvatura y $\alpha(M)\neq 0$?
2. Hay compacto simplemente conectado spin colectores de dimensión 4 que han $\alpha(M)=0$ pero no métrica de positivo escalar de curvatura?
3. ¿Qué son necesarias y/o suficientes condiciones para un pacto simplemente conectado spin 4-colector de tener un indicador positivo escalar de curvatura?

Answer 1

1. Lichnerowicz demostrado que si $M$ es un cerrado giro colector en el que se admite una positiva escalar de curvatura de la métrica, a continuación,$\hat{A}(M) = 0$. En dimensiones $4k$, $\alpha(M) = 2\hat{A}(M)$, por lo que se deduce que el $\alpha(M) = 0$. De hecho, Hitchin demostrado que $\alpha(M) = 0$, independientemente de la dimensión.

2. En dimensión cuatro, $\hat{A}(M) = -\frac{1}{24}p_1(M) = -\frac{1}{8}\tau(M)$, lo $\alpha(M) = 0$ si y sólo si $\tau(M) = 0$. Si $M$ es simplemente conexa, cerrado, tirada de cuatro colector con la firma de cero, entonces por Freedman de la clasificación, no es un número entero $k \geq 0$ tal que $M$ es homeomórficos a $k(S^2\times S^2)$, el conectado suma de $k$ copias de $S^2\times S^2$; nota, el conectado suma de cero copias de $S^2\times S^2$ se define a ser $S^4$. Si $M$ es diffeomorphic a$k(S^2\times S^2)$, $M$ admite positivo escalar de curvatura de las métricas. Dicho de otra manera, la topológico colectores $k(S^2\times S^2)$ todos admiten positivo escalar de curvatura para sus estándares suave de la estructura.

   Un cerrado de cuatro colector potencialmente puede admitir un countably número infinito de suave estructuras, y la existencia de una relación positiva escalar de curvatura de la métrica depende de la suave estructura que usted elija. Así que es posible que para algunos la elección de $k$ y alguna opción de suave estructura en $k(S^2\times S^2)$, no admite un escalar positivo de la curvatura de la métrica. No puedo pensar en un ejemplo de ahora mismo.

3. En dimensión cuatro, a diferencia de en otras dimensiones, no son de calibre teórico obstrucciones a la existencia de resultados positivos de escalar de curvatura de las métricas. En particular, en un cerrado suave de cuatro colector con $b^+ \geq 2$, la existencia de una relación positiva escalar de curvatura de la métrica implica que todos los de su Seiberg-Witten invariantes de desaparecer. Esta es una condición necesaria, pero no suficiente. Tenga en cuenta que estas invariantes son generalmente demasiado complicado de calcular, excepto en situaciones ideales, tales como cuando los cuatro-colector en cuestión es el subyacente cuatro-variedad de Kähler de la superficie.