Covarianza de dos series de tiempo, impulsada por un modelo VAR(1) restringido

Question

Supongamos que tengo dos series de tiempo $X_n$ $Y_n$ donde:

$$ X_n = \rho_x X_{n-1} + \epsilon_n $$ y $$ Y_n = \rho_y Y_{n-1} + \rho_{xy}X_n +z_n $$

Aquí, $z_n,\epsilon_n$ son independientes de las variables aleatorias, y el $\rho$'s puede ser considerado como las correlaciones. Ahora, estoy tratando de encontrar una relación recursiva para $Cov(X_n, Y_n)$, y, a continuación, tomar el límite. Sin embargo, me estoy dando demasiadas condiciones a tratar. Hay una forma más simple de ir directamente por la definición?

Lo que tengo hasta ahora es empezar con $Cov(X_1,Y_1) = Cov(\rho_x X_0 + \epsilon_1, \rho_y Y_{0} + \rho_{xy}X_1 +z_1) = \rho_{xy}$ debido a $X_0, Y_0$ siendo constantes. A continuación, $Cov(X_2,Y_2) = \rho_x \rho_y Cov(X_1,Y_1)+ \rho_x^2 \rho_{xy}+ \rho_{xy}$.

A continuación, $Cov(X_n,Y_n) = \rho_x \rho_y Cov(X_{n-1},Y_{n-1})+ \rho_x^2 \rho_{xy}+ \rho_{xy}$.

Sin embargo, esto todavía me da un lío que no se puede reescribir en términos de alguna conocida de la sumación de la fórmula. Hice correctamente?

Answer 1

Una dirección a seguir podría ser algo como: $$ X_n = \rho_x X_{n-1} + \epsilon_n $$ y $$ Y_n = \rho_y Y_{n-1} + \rho_{xy}X_n +z_n $$

Sustituto de $X_n$ en la segunda ecuación: $$Y_n = \rho_y Y_{n-1} + \rho_{xy} \rho_x X_{n-1} + \rho_{xy} \epsilon_n +z_n$$

Escribir como un VAR(1) (según lo sugerido por Richard)

$$ \left[ \begin{array}{c} X_n \\ Y_n \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} \rho_x & 0 \\ \rho_{xy} \rho_x&\rho_y \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} X_{n-1} \\ Y_{n-1} \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ \rho_{xy} & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \epsilon_n \\ z_n \end{array} \right] $$

Vamos a llamar a este: $ \hat{X}_n = A \hat{X}_{n-1} + B \hat{\epsilon}_n$

$$ E\left[ \hat{X}_n \hat{X}'_n \right] = E\left[ \left( A\hat{X}_{n-1} + B \hat{\epsilon}_{n-1}\right) \left( A\hat{X}_{n-1} + B \hat{\epsilon}_{n-1}\right) ' \right] $$ $$ = A E\left[ \hat{X}_{n-1} \hat{X}_{n-1}'\right] A' + BB'$$ Bajo algunas condiciones técnicas es algo así como: $$ \Sigma = A \Sigma A' + BB'$$ $$ vec(\Sigma) = (I - A \otimes A)^{-1} vec(BB')$$ Donde $\otimes$ es el producto de Kronecker y vec es el operador vec. Básicamente, $\Sigma$'s la solución a un sistema de 4 ecuaciones.

Answer 2

Después de tomar Consejo de Richard en cuenta, usted puede apelar al resultado general de una función de autocovarianza de un estable $VAR(1)$

$$yt=c+\Phi y{t-1}+\epsilon_t,$$

$\Omega$ la matriz de varianzas y covarianzas de $\epsilon_t$: $$ \Gammaj=\sum{i=0}^\infty\Phi^{j+i}\Omega(\Phi^{i}) ^ \top $$ esto sigue de escritura $VAR(1)$ como un vector de movimiento promedio $$ yt \mu = \sum {j = 0} ^ \infty\Phi ^ j\epsilon_ {t-j}, \quad\text {que} \ Quad \mu=(I-\Phi) ^ {-1} c, $$ y por lo tanto\begin{eqnarray} \Gamma_j &=& E(yt - \mu)(y{t-j}-\mu)^\top\ &=& E\left(\sum{i=0}^{\infty}\Phi^i\epsilon{t-j}\right)\left(\sum{k=0}^{\infty}\Phi^k\epsilon{t-k-j}\right)^\top\ &=& E\left(\sum{i=j}^{\infty}\Phi^i\epsilon{t-i}\right)\left(\sum{k=0}^{\infty}\Phi^k\epsilon{t-k-j}\right)^\top\ &=& E\left(\sum{i=j}^{\infty}\Phi^i\epsilon{t-i}\right)\left(\sum{k=0}^{\infty}\epsilon{t-k-j}{\Phi^k} ^\top\right)\ &=& \sum{i=j}^{\infty}\sum{k=0}^{\infty}\Phi^iE\left(\epsilon{t-i}\epsilon{t-k-j}^\top\right){\Phi^k}^\top\ &=& \Phi^j\Omega(\Phi^0)^\top + \Phi^{j+1}\Omega\Phi^\top + \Phi^{j+2}\Omega(\Phi^2)^\top + \ldots\ &=& \sum_{i=0}^{\infty}\Phi^{j+i} \Omega {\Phi^i}^\top \end{eqnarray }