Número de Sylow $p$-los subgrupos de un producto directo de grupos

Question

Sea $G$ el grupo $S_4\times S_3$. Probar o refutar la siguiente:

1. un subgrupo de Sylow de $2-$ de G es normal
2. un subgrupo de Sylow de $3-$ de G es normal

Tengo $|S_4\times S_3|=144$ y el grupo no es sencillo.

Mientras se aplica el teorema de Sylow tengo los posibles valores de n. de Sylow subgrupos de $2 $ $9, 3, 1$ y no. ¿de Sylow subgrupos de $3$ $16, 4, 1. $ entonces que valor tengo que excluir?

Answer 1

De lo contrario poner (Ver respuesta de Andreas): $$Syl_p(G_1) \times Syl_p(G_2)=Syl_p(G_1 \times G_2).$ $

Answer 2

$\newcommand{\Size}[1]{\lvert #1 \rvert}$Me parece que este es uno de esos casos donde el trabajo en una forma más general de la configuración de la ayuda.

Supongamos $H, K$ son dos grupos finitos, y deje $G = H \times K$. Desde $\Size{G} = \Size{H} \cdot \Size{K}$, es claro que el orden de Sylow $p$-subgrupo de $G$ es el producto de las órdenes de Sylow $p$-subgrupo de $H$ y uno de $K$. Por otra parte, el producto de un Sylow $p$-subgrupo $H_{p}$ $H$ e una $K_{p}$ $K$ producirá un Sylow $p$-subgrupo de $G$; esto es debido a que $H$ $K$ conmutar elementwise, y por lo tanto $H_{p} K_{p}$ es un subgrupo de $G$, de la orden correcto.

Además, $H_{p} K_{p}$ será normal en $G$ si y sólo si $H_{p}$ es normal en $H$ $K_{p}$ es normal en $K$ - en la misma nota primero que si $h \in H$$k \in K$, usted tiene $$ (H_{p} K_{p})^{h, k} = H_{p}^{h} K_{p}^{k}. $$ Y entonces, si $U \le H, V \le K$, $UV$ únicamente determina $U$$V$$U = UV \cap H$$V = UV \cap K$.

Answer 3

Hay 3 subgrupos de orden 8 en $S_{4}$, vamos a llamarlos $H_{1}$, $H_{2}$ y $H_{3}$. Deje $\sigma$ ser un elemento de orden 2 en $S_{3}$. $H_{i} \times <\sigma>$ son subgrupos de orden 16, por lo tanto, usted tiene 3 de ellos al menos, lo que se puede concluir? Ahora, como para 3 Sylows, tiene un único subgrupo de orden 3 en $S_{3}$ pero que tiene, (creo), 4 subgrupos de orden 3 en $S_{4}$, ¿qué se puede concluir? (La idea aquí, fue explícitamente construir p sylows, el conocimiento de la estructura de los grupos que aparecen en el producto directo)