Factorizar $ 77 $ $ \mathbb{Z}[\sqrt{-13}]$

Question

Tengo que mostrar que existen tres tipos de factorización de $ 77 $ en el de arriba del anillo. No es difícil de encontrar, es decir, $ 77 = 11 \cdot 7 = (8 - \alpha)(8 + \alpha) = (5 - 2 \alpha)(5 + 2 \alpha) $ donde $ \alpha^2 = -13 $. Además no es difícil demostrar que estos son diferentes de la factorización, es decir, no puede ser obtenido a partir de una a otra por la multiplicación de las unidades. Sin embargo, ¿cómo puedo demostrar que no hay más que tres?

Pensé que podría utilizar el algoritmo de factorización para obtener el $$ (77) = (7, \alpha + 1)(7, \alpha - 1)(11, \alpha + 3)(11, \alpha - 3). $$

Quiero mostrar que, por ejemplo, $ (7, \alpha + 1) (11, \alpha + 3) $ que es lo principal, pero no sé cómo hacerlo. Tengo algo así como $ (1, \alpha) $ pero que no le parece correcto. Supongo que mi pregunta es, ¿cómo obtener el elemento principal de generación de un producto de dos ideales. Su ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Los ideales son útiles e importantes, pero en este caso creo que sería mucho más sencillo el uso de las normas de los números. Como ustedes saben, $N(a + b \sqrt{-13}) = a^2 + 13b^2$. Por lo tanto, estamos buscando solucionar $a^2 + 13b^2 = 7, 11, 49, 77$ o $121$, de modo que $(a^2 + 13b^2)(c^2 + 13d^2) = 5929$.

Sin pérdida de generalidad, ignorar temporalmente soluciones con $a$ o $b$ negativo. Como resulta, $N(n) = 7$ es imposible, como es $N(n) = 11$. Sólo hay una solución para $49$, y eso es $n = 7$. Mirando la secuencia de $13, 52, 117$, nos encontramos con que $(2 - 3 \sqrt{-13})(2 + 3 \sqrt{-13}) = 121$, pero $77$ no es divisible por ninguno de los factores. Así que la única solución real positiva números enteros es $7 \times 11 = 77$.

Que se ocupa de todas las soluciones con $b = d = 0$. De pasar a $b \neq 0$, tenemos que buscar en un mucho más pequeño círculo. Las únicas soluciones son $8^2 + 13 \times 1^2 = 77$$5 + 13 \times 4^2 = 77$. Cualquier valor mayor de $a$ o $b$ sobregiro de la marca.

Así, ha encontrado los tres soluciones.

Si usted todavía desea mirar ideales, ¿cuántas combinaciones de los principales ideales se puede obtener de la $$\langle 7, 1 - \sqrt{-13} \rangle \langle 7, 1 + \sqrt{-13} \rangle \langle 11, 3 - \sqrt{-13} \rangle \langle 11, 3 + \sqrt{-13} \rangle ?$$

Answer 2

Supongo que mi pregunta es, ¿cómo obtener el elemento principal de generación de un producto de dos ideales.

Esto va a sonar contra-intuitivo, pero se puede usar redundante generadores.

Esperemos que este ejemplo inventado en $\textbf Z$ hará de mi un significado claro: supongamos que se quiere averiguar el director ideal $\langle 3, -6 \rangle \langle 4, 2 \rangle$. Ambos factores son los principales ideales, pero fingen que no saben que por ahora. El uso de papel de ALUMINIO, obtenemos: $$\langle 3, -6 \rangle \langle 4, 2 \rangle = \langle 12, 6, -24, -12 \rangle.$$ Since $\langle 12 \rangle = \langle -12 \rangle$, we can get rid of one generator right away, leaving us with $\langle 12, 6, -24 \rangle$. Next, by comparing the norms of the generators (I told you this example is contrived), we find this chain of proper containment: $\langle -24 \rangle \subconjunto \langle 12 \rangle \subconjunto \langle 6 \rangle$. Since $\langle 6 \rangle$ is maximal among those, we conclude that $\langle 3, -6 \rangle \langle 4, 2 \rangle = \langle 6 \rangle$.

Tengo algo así como $(1, \alpha)$ pero que no le parece correcto.

No debería ser derecho. Notacional sutilezas aparte, recuerda que cualquier momento ideal tiene una unidad de uno de los generadores, el ideal es que todo el anillo. Pero de $7, 1 + \sqrt{-13}, 11, 3 + \sqrt{-13}$, ninguno de esos números son las unidades, ya que las únicas unidades en $\textbf Z[\sqrt{-13}]$$1$$-1$.

El uso de nuestro redundante generadores, obtenemos $$\langle 7, 1 + \sqrt{-13} \rangle \langle 11, 3 + \sqrt{-13} \rangle = \langle 77, 21 + 7 \sqrt{-13}, 11 + 11 \sqrt{-13}, -10 + 4 \sqrt{-13} \rangle.$$

Las normas de los generadores se $5929, 1078, 1694, 308$. El máximo común divisor de los siguientes números es $77$. Tenga en cuenta que cuatro, pero la primera tiene incluso normas, pero sólo el último número es divisible por $2$, dándonos $-5 + 2 \sqrt{-13}$. Observe que $77$ es divisible por $-5 + 2 \sqrt{-13}$, por lo que sólo tenemos $\langle 21 + 7 \sqrt{-13}, 11 + 11 \sqrt{-13}, -5 + 2 \sqrt{-13} \rangle$ a tratar ahora.

La mayor delega de ese ideal de generadores dejo como ejercicio si usted está tan inclinado.

Answer 3

$$(7,1+\sqrt{-13})(11,3+\sqrt{-13})$$ is principal, say $$=a+b\sqrt{-13}$$ then we know $% $ $a^2+13b^2=77$y hay solo dos soluciones, $$8\pm\sqrt{-13},5\pm \sqrt{-13}$ $ ahora el producto de los ideales contiene $11+11\sqrt{-13}$ y $-10+4\sqrt{-13}$ multiplicando el primero por $2$, el segundo por $5$ y restando obtenemos $$72+2\sqrt{-13}$$ reducir $77$ tenemos $$-5+2\sqrt{-13}$ $ del generador.