Evaluación asintótica de una integral oscilatoria

Question

Primero de todo, soy un físico, así que por favor me disculpe si hago errores básicos en la siguiente, voy a tratar de ser lo más riguroso posible. En mi investigación, recientemente me encontré con la siguiente integral para $\Omega>0$:

$\psi(t,\Omega)=\int_{0}^{+\infty}\mathrm{d}\omega\,\Phi(\omega)\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\Omega t}}{\omega-\Omega}$

$\Phi$ ser suave y función integrable. Normalmente, tengo que lidiar con las funciones de la clase:

$\Phi(\omega)\underset{\omega\to0^+}{\longrightarrow}0$ $\Phi(\omega)\underset{\omega\to+\infty}{\simeq}K\omega^\alpha\mathrm{e}^{-\omega}$

Me gustaría estimación$\psi(t,\Omega)$$t\to+\infty$.

He intentado reescribir el integrando de la siguiente manera:

$\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\Omega t}}{\omega-\Omega}=-\frac{2\mathrm{i}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\omega+\Omega}{2}t}}{\omega-\Omega}\sin(\frac{\omega-\Omega}{2}t)$

A continuación, he usado la aproximación (muy utilizada en mi campo, ver https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function#Oscillatory_integrals):

$\frac{\sin(\omega t)}{\omega}\underset{t\to+\infty}{\simeq}\pi\delta(\omega)$, $\delta$ siendo la distribución de Dirac

Que me llevaría a (advertencia, aquí viene la falta de rigor matemático):

$\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\Omega t}}{\omega-\Omega}\underset{t\to+\infty}{\simeq}-2\mathrm{i}\pi\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\omega+\Omega}{2}t}\delta(\omega-\Omega)=-2\mathrm{i}\pi\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\Omega t}\delta(\omega-\Omega)$

Esto produce:

$\psi(t,\Omega)\underset{t\to+\infty}{\simeq}-2\mathrm{i}\pi\Phi(\Omega)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\Omega t}$

Traté de realizar algunos cálculos numéricos con Wolfram Mathematica para comprobar este resultado, y, si la oscilación inducida por el factor de $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\Omega t}$ parece presente, el módulo de $\psi(t,\Omega)$ no parecen seguir la anterior aproximación.

Ya que no soy experto en este tipo de preguntas, no sé cómo encontrar la información que me pudiera ayudar con esta pregunta. Si alguien tiene una idea o una buena referencia para asesorar sería de gran ayuda para mí. Gracias de antemano.

Answer 1

He seguido Ian sugerencia de dividir la integral y, aunque aún no puedo justificar rigurosamente cada punto, creo que finalmente me vino con la respuesta correcta. Primero de todos, el asymptotics de mis integral parece ser:

$\psi(t,\Omega)\underset{t\to+\infty}{\simeq}\left(\mathrm{pv}\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}\omega\,\frac{\Phi(\omega)}{\Omega-\omega}-\mathrm{i}\pi\Phi(\Omega)\right)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\Omega t}$

Para obtener este resultado, se puede dividir la integral:

$\psi(t,\Omega)=\lim_{\delta\to0^+}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\Omega t}\int_{|\omega-\Omega|>\delta}\mathrm{d}\omega\,\frac{\Phi(\omega)}{\Omega-\omega}+\int_{|\omega-\Omega|>\delta}\mathrm{d}\omega\,\frac{\Phi(\omega)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}}{\Omega-\omega}+\int_{|\omega-\Omega|<\delta}\mathrm{d}\omega\,\Phi(\omega)\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\Omega t}}{\omega-\Omega}\right)$

La parte real de la asymptotics obviamente proviene de el primer término de este desarrollo. La parte imaginaria viene desde el segundo uno, todavía tengo que trabajar un poco para probar esto rigurosamente aunque. Finalmente, el tercer término debe desaparecer, yo no acreditar correctamente, pero esto no debería ser demasiado difícil de hacer por alguien más alfabetizados que yo en este campo.