¿Es la intersección contable de sistema perfecto perfecto? Y una pregunta sobre cerrado conjunto

Question

1. Deje $\{A_n\}$ ser una secuencia de perfecto establece en un espacio métrico. A continuación, se $\bigcap_{n\in\omega} A_n$ perfecto?

2. Recientemente, he estudiado algo de Cantor-al igual que los conjuntos y tengo esto muy natural de que se trate.

Deje $C_1$ ser un cerrado conectado conjunto en un espacio métrico $X$ $\alpha\in \mathbb{N}^\mathbb{N}$

Definir $A(n)$ ser una unión de distintos $n$ cerrado conectado subconjuntos de a $A$. (Con el Axioma de elección, que puede ser bien definido)

Definir de forma recursiva, $C_{n+1}=C_n (\alpha_n)$.

Creo $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}C_n$ es perfecto.

¿Es cierto o hay alguna generalización similar a este? Lo siento de antemano que no soy muy bueno en el que describe las cosas..

1. Para cualquier cerrado conectado espacio métrico $A$, existe una perfecta subconjunto $B$ tal que $Int(B)=\emptyset$? O posiblemente, "Cada set perfecto en un espacio métrico contiene un subconjunto perfecto con vacío interior"?

Answer 1

La intersección de conjuntos perfectos incluso finitamente muchos (sistemas cerrados sin puntos aislados) no necesita ser perfecta. Considerar los conjuntos $$A_n=\left{\langle x,y\rangle\in\Bbb R^2:y=nx\right},$$ for a counterexample. Even if we're given a nested sequence of perfect sets, their intersection need not be perfect--consider the intervals $% $ $\left[0,\frac1{n+1}\right]$en la línea verdadera. Esto además proporciona un contraejemplo a tu segunda pregunta.

En respuesta a la tercera pregunta, tenga en cuenta que $\emptyset$ es un conjunto perfecto. En general, no necesitan ser ningún ejemplo no trivial, como el espacio de un punto está conectado y tiene $\emptyset$ como su subgrupo sólo perfecto.

Answer 2

1. No. Deje $A_n = [ \frac{-1}{n} , \frac{1}{n} ]$ todos los $n$. Claramente cada una de las $A_n$ es perfecto, pero su intersección es el imperfecto $\{ 0 \}$.

2. Como la respuesta a (1) muestra, usted tendrá que tener cuidado con los detalles. Si en cada etapa de tomar $n$ subintervalos tal que la izquierda-el extremo de la izquierda-la mayoría de los subinterval es la izquierda-extremo de la original de intervalo, y de manera similar con el derecho-extremo más a la derecha subinterval, la respuesta será similar a la del conjunto de Cantor de la construcción.

   De lo contrario, usted probablemente querrá asegurarse de que cada intervalo se divide en al menos dos subintervalos. Entonces usted podría ser capaz de argumentar de la siguiente manera: Dado $x \in C = \bigcap_n C_n$$\epsilon > 0$, si algunos no degenerada subinterval de $C$ contiene $x$, no hay nada que hacer. De lo contrario, debe haber un $n$ que la totalidad del subinterval de $C_n$ que contiene $x$ es un subconjunto de a $( x - \epsilon , x + \epsilon )$. Comenzando con un subinterval de este intervalo, en $C_{n+1}$ que no contenga $x$, podemos de forma recursiva constructo convergente secuencia que consta de los extremos de los subintervalos cuyo límite pertenece a $C$, pero es diferente de $x$. Este punto debe ser dentro de$\epsilon$$x$. (Los detalles se encuentran, como parece que es común conmigo, de izquierda a alguien más.)

3. (Voy a tener que pensar en esto un poco para ver si hay un no-trivial ejemplo).