¿Es una prueba correcta de que una isometría isomórfica preservó la separabilidad?

Question

Deje que $(X,\| \cdot\ |_X)$ ser un espacio normalizado separable y dejar $(Y,\| \cdot\ |_Y)$ ser un espacio normalizado. Supongamos que ambos son de dimensiones infinitas. Dejemos que $$T:(X,\| \cdot\ |_X) \longrightarrow (Y,\| \cdot\ |_Y)$$ ser una isometría isomórfica. Lo que me interesa saber es si $(Y,\| \cdot\ |_Y)$ también será separable? Lo que realmente me interesa saber es si puede o no existir tal mapa entre $c$ y $l^ \infty$ pero no hace daño ser un poco más general.

Mi intento:

Toma $y \in Y$ . Entonces existen $x \in X$ de tal manera que $T(x) = y$ . También existe un subconjunto denso contable $X'$ de $X$ de tal manera que por cada $\epsilon > 0$ existen $x' \in X'$ de tal manera que $\| x' - x \|_X < \epsilon$ . Pero desde que $T$ es una isometría que obtenemos

$$\| x' - x \|_X = \| T(x' - x) \|_Y = \| T(x') - y \|_Y < \epsilon$$

Pero $T(x') \in T(X')$ y $T(X')$ es contable (T es bijectiva), por lo tanto $(Y,\| \cdot\ |_Y)$ debe ser separable.

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Sí, su prueba es correcta. Pero lo escribiría de forma ligeramente diferente: primero presentaría $X'$ y tomar su imagen en $Y$ como un subconjunto contable. Después probaría que $T(X')$ es denso en $Y$ .