Ejemplo de Extensión de Campo $E/F$ con $Char(F)=2$ y $[E:F]=2$, pero no es Galois

Question

Entiendo que para una extensión de campo $E/F$, si $Char(F)\neq 2$ y $[E:F]=2$ entonces debe ser una Extensión de Galois. He probado esto, pero estoy teniendo problemas para encontrar un contraejemplo cuando se elimina el requisito de la característica.

Mi primera idea fue algo como $\mathbb{F}_{2}(\sqrt{t})/\mathbb{F}_{2}(t)$.

No estoy seguro, sin embargo, si esta es una extensión de grado 2.

Independientemente, el polinomio irreducible mínimo de $\sqrt{t}$ sobre $\mathbb{F}_{2}(t)$ es $f(x) = x^{2}-t = 0$. Claramente, $(f,f')=f\neq1$ y, en $\mathbb{F}_{2}(\sqrt{t})$, $f$ se descompone en $(x-\sqrt{t})^{2}$, por lo que es puramente inseparable.

¿Es esto suficiente para mostrar que $\mathbb{F}_{2}(\sqrt{t})/\mathbb{F}_{2}(t)$ es una extensión inseparable? ¿Y es realmente de grado 2?

Answer 1

Otra forma, equivalente a la tuya, de determinar $Aut$($F_{2}$($\sqrt{t})/F_{2}(t))$. Como sugiriste, $\sqrt{t}$ es la única raíz de $x^{2}-t \in F_{2}(t)[x]$ y por lo tanto $Aut$($F_{2}$($\sqrt{t})/F_{2}(t))$=$\lbrace$ identidad $\rbrace$<2.

Answer 2

Sí, bonito contraejemplo.

El grado de la extensión $\Bbb F_2(\sqrt t):\Bbb F_2(t)$ es de hecho $2$, porque -- como escribiste -- el polinomio irreducible mínimo de $\sqrt t$ sobre $\Bbb F_2(t)$ es $f(x)=x^2-t$, que tiene grado $2$.