Aplicación del polinomio de Taylor

Question

Se me encargó encontrar, utilizando el polinomio de Taylor o de cualquier otra forma un número racional tal que la resta entre éste y $\sqrt{10}$ es menor en su valor absoluto que $\frac{1}{100}$ . He intentado utilizar la serie Maclaurin para $\sqrt{x}$ pero no lo encontré particularmente útil, o práctico, en este caso.

Answer 1

Peter te da una forma en los comentarios. Aquí hay otra:

La serie Taylor de $\sqrt x$ sobre $x = 9$ es $$ \sqrt x = \sqrt9 + \frac{1}{2\sqrt9}(x-9) - \frac{1}{4\sqrt{9^3}\cdot 2!}(x-9)^2 + \frac{3}{8\sqrt{9^5}\cdot 6!}(x-9)^3-\cdots $$ El teorema de Taylor le indica un límite superior para el error en $x = 10$ en cualquier número de términos, por lo que sólo hay que incluir suficientes términos para que ese error sea menor que $\frac1{100}$ y ya está listo.

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Una tercera forma, más elemental, es la siguiente: Empezar con $3$ como una estimación inicial para $\sqrt{10}$ . Ahora claramente $\sqrt{10}$ está entre $3$ y $\frac{10}3$ por lo que, como siguiente aproximación, tomamos la media de $3$ y $\frac{10}3$ . Realmente querrías tomar el geométrico media $\sqrt{3\cdot \frac{10}3}$ porque eso es exactamente lo que buscas, pero eso es lo que intentamos en primer lugar. Así que tomamos la media aritmética en su lugar. Eso nos da $$ \frac{3 + \frac{10}3}{2} = \frac{19}{6} $$ como una segunda aproximación. ¿Es esto suficiente?

¿Cómo podemos saber si estamos lo suficientemente cerca? Bueno, si $x$ es nuestra aproximación hasta ahora, entonces $\sqrt{10}$ debe estar entre $x$ y $\frac{10}x$ Así que cuando $|x-\frac{10}{x}|<\frac1{100}$ , estás dentro de los límites que quieres.

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Una cuarta forma: las fracciones continuas. Tenemos $$ \sqrt{10} = 3 + \frac{1}{3+\sqrt{10}}\\ = 3 + \cfrac1{6 + \frac{1}{3+\sqrt{10}}}\\ = 3 + \cfrac1{6+\cfrac1{6 + \frac{1}{3+\sqrt{10}}}}\\ \vdots $$ Ahora, claramente tenemos $3<\sqrt{10}<4$ por lo que es sencillo insertar $3$ y $4$ en lugar del más bajo $\sqrt{10}$ en cualquier paso y evaluar la fracción completa para obtener un límite superior y otro inferior en $\sqrt{10}$ . Una vez que los límites están más cerca que $\frac1{100}$ el uno al otro, entonces sabes que ambos están más cerca de $\sqrt{10}$ que eso, así que elige uno de ellos, y ya está.

Answer 2

Aquí, el método más obvio y más fácil - bisección:

• set $x_{-1}=3, x_0 = 4$
• $3 < \sqrt{10} < 4 \rightarrow x_1 := \frac{x_{-1}+x_0}{2}= \frac{7}{2} \rightarrow |\sqrt{10} - x_1| < \frac{1}{2}$
• $3 < \sqrt{10} < \frac{7}{2} \rightarrow x_2 := \frac{x_0+x_1}{2}= \frac{13}{4} \rightarrow |\sqrt{10} - x_2| < \frac{1}{2^2}$
• ... seguir hasta $\frac{1}{2^n} < \frac{1}{100}$
• $\rightarrow x_7$ satisface su condición

:-)