Abierta $\sigma$-compact establece con medida finita

Question

Sea localmente compacto Hausdorff espacio y deje que $X$ ser positiva medida de Borel, finito en $\mu$ pactos, exterior regular con respecto a los subconjuntos abiertos, para cada conjunto de Borel y regular interno con respecto a los subconjuntos compactos, para cada conjunto abierto y cada Borel con finito medida. Es cierto que para cada compacto $F$ allí existe un abierto $\sigma$-compacto $G$ tal $F\subset G$ $G$ tiene medida finita.

Gracias.

Answer 1

Sí. $X$ Es localmente compacto y $F$ es compacto, hay un $f\in Cc(X)$ (es decir, $f\colon X\to\mathbb{R}$ con soporte compacto) que es terminantemente positivo en $F$. Luego podemos tomar $G={x\in X\colon f(x) > 0}$. Esto se encuentra en el apoyo de $f$, que es compacto, así que tiene medida finita. Además, $$ G = \bigcup {n = 1} ^ \infty\left\ {x\in X\colon f (x) \ge1/n\right} $$ expresa $G$ como una Unión contable de conjuntos compactos, por lo que es $\sigma$-compacto.