Algunos pitagóricos triplica las pruebas

Question

Estoy estudiando sobre teoría de números por mí mismo. Así que lo siento si la pregunta parece ser claro.

Sólo quiero saber cómo demostrar que un miembro de un triple pitagórico es siempre divisible por 5 y que el área de un triángulo rectángulo de lados enteros es siempre divisible por 6.

He buscado preguntas similares pero no encontrar una prueba comprensible para mí.

Answer 1

Estamos considerando entero de soluciones a $$a^2+b^2=c^2$$

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Consideremos la ecuación de $a^2+b^2=c^2$ modulo $2$: $$\begin{array}{c|cc} +&0^2&1^2\\ \hline 0^2&0^2&1^2\\ 1^2&1^2&0^2 \end{array}$$ vemos que en los cuatro casos, al menos uno de los tres números es cero modulo $2$. Así que por lo menos uno en la triple a es divisible por $2$.

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Modulo $3$ tenemos $1^2=2^2$, por lo que la misma tabla se aplica. Al menos uno es divisible por $3$.

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Modulo $4$ tenemos $0^2=2^2$ $1^2=3^2$ así que de nuevo la misma tabla se aplica. Al menos uno es divisible por $4$.

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Modulo $5$ tenemos $1^2=4^2=1$$2^2=3^2=4$, por lo que $$\begin{array}{c|ccc} +&0^2&1^2&2^2\\ \hline 0^2&0^2&1^2&2^2\\ 1^2&1^2&\times&0^2\\ 2^2&2^2&0^2&\times \end{array}$$ donde $\times$ indica que el resultado no puede ser un cuadrado, ya que $1^2+1^2=2$ $2^2+2^2=3$ no son valores de plazas modulo $5$. Son cuadrática no residuos de mod $5$.

Todos los $7$ de los casos que son realmente posible contener al menos un cero. De modo que al menos uno de los tres números es divisible por $5$.

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Finalmente, respecto a la zona que está siendo divisible por $6$, podemos ver a partir de las fórmulas para la generación de los triples $$(a,b,c)=(m^2-n^2,2 mn,m^2+n^2)$$ que el área debe ser $$T=\tfrac12 ab=(m^2-n^2)mn$$ y si no $m$ ni $n$ es divisible por $2$ tenemos $m=n=1$ modulo $2$ y, por tanto, $m^2-n^2$ debe ser divisible por $2$.

Si no $m$ ni $n$ es divisible por $3$, vemos que cualquiera de las $m,n\in\{1,2\}$ modulo $3$, de modo que $m^2-n^2=0$ modulo $3$. Así que, de hecho, la zona es divisible por tanto $2$$3$, y por lo tanto por $6$.

Answer 2

Desde el enlace:

"El caso a considerar es m = ±1 (mod 5) o m = ±2 (mod 5). Y lo mismo es cierto para n."

Aquí, queremos finalmente vistazo a las plazas, porque ya hemos tratado con m o n es divisible por 5 en la condición anterior.

"Entonces se sigue que tanto $m^2$ $n^2$ (editado aquí) sólo puede ser 1 o 4 modulo 5."

Acaba de hacer la multiplicación y reducir el modulo cinco para todos los casos.

"Si son iguales el modulo 5, entonces m2 - n2 = 0 (mod 5). De lo contrario, m2 + n2 = 0 (mod 5)."

Cuando la primera instrucción se establece y nos han reducido a sólo el caso en que los cuadrados de los elementos sólo pueden ser 1 o 4 mod 5, a continuación, cualquiera de ellos son iguales o no. Si es así, entonces la resta caso se aplica; si no, entonces la adición de uno.

Si todavía hay un poco de confusión, puede ser vale la pena mirar de aritmética modular.

Answer 3

Como ya he dicho, no he aprendido acerca de la "aritmética modular" todavía. Que puede ser el por qué no estoy recibiendo sus respuestas que parecen ser claro.

A pesar de ello, traté de demostrar en mi "Elemental" camino y eso fue lo que me ocurrió.

"uno de los miembros de una terna Pitagórica es siempre divisible por 5"

En primer lugar, cada número entero (m, n) puede ser escrita en uno de estos formularios (5k, 5k+1, 5k+2, 5k+3, 5k+4). Tomamos los últimos cuatro formas y plaza de ellos. Vamos a terminar solo, con dos formas diferentes(5k+1, 5k+4). Tenga en cuenta que: (5k+9) puede ser reescrito para ser (5k+4) con un diferente valor de k.

Si m^2 y n^2 puede escribirse en la misma forma (5k+1, 5k+1) o (5k+4, 5k+4) entonces m^2 - n^2 debe ser divisible por cinco. Si m^2 y n^2 están escritos en diferentes formas (5k+1, 5k+4) entonces m^2 +n^2 debe ser divisible por 5 causa (4 + 1 = 5).

Ahora que hemos hecho durante los últimos cuatro formas y aún así tener la primera forma de lo que es (5k). Simplemente, si m puede escribirse en la forma (5k) y n se escribe en cualquier otra forma, a continuación, m * n debe ser divisible por cinco, por lo Tanto, 2mn también debe ser divisible por 5.

Nota: 1) Mi inglés no es perfecto, así que disculpen si hay algunos errores. 2) La prueba es claro para mí ahora, y puedo entender las principales partes de las pruebas. Sin embargo, no voy a cerrar la pregunta ahora mismo. Así que si usted tiene algún comentario sobre lo que he escrito, amablemente, me informan.