Sea $F[[X]]$ el anillo de la serie de energía formal en el campo $F$. Muestran que $(X)$ es un ideal maximal.

Question

Tengo que probar lo siguiente:

Deje $F[[X]]$ ser el anillo de poder formal de la serie sobre el campo $F$. Mostrar que $(X)$ es un ideal maximal.

Creo que puedo probar esto de tres maneras diferentes

(1) $(X$) es un ideal maximal si y solo si $F[[X]]/(X)$ es un campo

(2) podemos ver que $(X)$ es un alojamiento ideal, ya que el primer ideales son máximas.

(3) podemos asumir que $(X)$ no está de máxima y de obtener una contradicción. Este es mi intento por (1), que creo que no es completa:

Deje $(X) = \{\sum_{i = 1}^{\infty}a_iX^i: a_i \in F \}$ (todos los elementos cuyo término constante es cero).

Podemos mostrar que $F[[X]]/(X) \cong F$ y que implicaría que $F[[X]]/(X)$ es también un campo.

Tenemos que

$$F[[X]]/(X) = \{ f + (X): f \in F[[X]] \mbox { and the constant term of } f \mbox{ is not zero } \} $$

Por lo tanto, para cualquier elemento $p \in F[[X]]/(X)$,

$$p = a_0 + a_1X^1 + a_2X^2 + ... + b_1X^1 + b_2X^2 + ... $$ $$p = a_0 + (a_1 + b_1)X^1 + (a_2 + b_2)X^2 + ...$$

A continuación, se requiere isomorfismo $\phi: F[[X]]/(X) \to F$, está dada por

$$ \phi(p) = a_0 \in F$$

Debo mostrar que para cualquier $p,q \in F[[X]]/(X)$,

(1) $\phi(pq) = \phi(p)\phi(q)$

(2) $\phi(p + q) = \phi(a) + \phi(b)$

(3) $\phi(1_{F[[X]]/(X)}) = 1_F = 0$

Ahora desde $p,q \in F[[x]]/(X)$,

$$p = a_0 + (a_1 + b_1)X^1 + (a_2 + b_2)X^2 + ... = p_0 + p_1X^1 + p_2X^2 + ...$$ $$q = c_0 + (c_1 + d_1)X^1 + (c_2 + d_2)X^2 + ... = q_0 + q_1X^1 + q_2X^2 + ...$$

Ahora por el producto de Cauchy, tenemos que

$$pq = \sum_{n = 0}^{\infty}c_nX^n$$

donde $c_n = \sum_{i = 0}^{n}p_iq_{n-i}$, por lo tanto

$$ \phi(pq) = c_0 = p_0q_0 = a_0c_0 = \phi(p)\phi(q) $$

También,

$$ \phi(p + q) = p_0 + a_0 = a_0 + c_0 = \phi(p) + \phi(q) $$

Ahora $1_{F[[X]]/(X)} = 0 + (X)$, por lo tanto

$$\phi(0 + (X)) = 0 = 1_F$$

$$\therefore \phi \mbox{ is a ring (field) isomorphism.} $$

$$\therefore F[[X]]/(X) \cong F, \therefore F[[X]]/(X) \mbox{ is a field since F is.}$$

$$\therefore(X) \mbox{ is a maximal ideal. } \square $$

¿Alguien puede verificar mi prueba para la parte (1), y que me ayude con la parte (2) o (3) ?

Creo que mi enfoque es muy largo y se utiliza un resultado importante. Quiero probarlo en una forma más directa.

Answer 1

Una vez que uno ve que

$(X) = \displaystyle \left \{ \sum_1^\infty a_i X^i \mid \forall i \; a_i \in F \right \}, \tag 1$

que es, el director ideal $(X)$ consiste de todos aquellos poder formal de la serie en $X$ de manera tal que el término constante $a_0 = 0 \in F$, mostrando el $(X)$ es maximal, es básicamente un one-liner.

A ver que (1) se une, en primer lugar observar que

$\displaystyle \left \{ \sum_1^\infty a_i X^i \mid \forall i \; a_i \in F \right \} \subset (X), \tag 2$

ya que cualquier elemento de a $\{ \sum_1^\infty a_i X^i \mid \forall i \; a_i \in F \}$ satisface

$\displaystyle \sum_1^\infty a_i X^i = X \sum_1^\infty a_iX^{i - 1} \in (X), \tag 3$

y también tenemos, para

$b(X) = \displaystyle \sum_0^\infty b_i X^i \in F[[X]], \tag 4$

$Xb(X) = \displaystyle X \sum_0^\infty b_i X^i = \sum_0^\infty b_i X^{i + 1} = \sum_1^\infty b_{i - 1} X^i \in \left \{ \sum_1^\infty a_i X^i \mid \forall i \; a_i \in F \right \}, \tag 5$

lo que muestra que

$(X) \subset \displaystyle \left \{ \sum_1^\infty a_i X^i \mid \forall i \; a_i \in F \right \}; \tag 6$

(2) y (6) a la vez implica (1).

Con este pequeño resultado en la mano, el prometido de una línea que va de la siguiente manera:

Supongamos que

$M \supsetneq (X) \tag 7$

es un ideal correctamente contengan $(X)$; ya que es evidente a partir de (1) $(X)$ consiste , precisamente, de aquellos elementos de $F[[X]]$ cuyo cero grados plazo es $0 \in F$, $M$ debe contener al menos un poder formal de la serie de la forma

$c(X) = \displaystyle \sum_0^\infty c_i X^i, \; c_0 \ne 0; \tag 8$

pero es claro de (1) que

$ \displaystyle \sum_1^\infty c_i X^i \in (X) \subset M \tag 9$

y así, desde la $M$ es un ideal,

$c_0 = c(X) - \displaystyle \sum_1^\infty c_i X^i \in M; \tag{10}$

pero $c_0 \ne 0 \in F$ es una unidad; por lo tanto

$1 = c_0^{-1} c_0 \in M, \tag{11}$

lo que por supuesto implica para cualquier $a(X) \in F[[X]]$,

$a(X) = 1a(X) \in M; \tag{12}$

así

$M = F[[X]], \tag{13}$

y por lo $(X)$ debe ser máxima.