Límite inferior para la cardinalidad del grupo de clase

Question

Permita que$p\equiv 2\pmod 3$ sea un número primo tal que$p>3^m$ para algunos$m\in\mathbb N$. Demuestre que el número de clase de$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ está limitado debajo por$m$.

Pensé en usar Minkowski bound dado por$M\ge\frac{2}{\pi}\sqrt{p}>\frac{2}{\pi}3^{\frac m2}.$ Eso significa que puedo ver los ideales ideales para bucear$2\mathcal{O}_K, 3\mathcal{O}_K$, pero ¿cómo ayuda eso? ¿Cómo puedo deducir el número de clase de este límite?

Answer 1

Demostrar primero que existe es el % ideal principal $\frak p$de $3$ de la norma, entonces demostrar que ninguno de $\frak p$, $\frak p^2,\ldots,\frak p^m$ principal.

Minkowski obligado dará solamente límites superior sobre el número de clase.