¿Asumir un homomorfismo de grupos da un lleno y Funtor fiel en representantes es sobreyectiva?

Question

Que $\phi: H \to G$ ser un homomorfismo de grupo finito. Luego hay un functor en representaciones $\operatorname{Rep}(\phi): \operatorname{Rep}(G) \to \operatorname{Rep}(H)$ de precomposición con $\phi$.

Asumir $\operatorname{Rep}(\phi)$ es totalmente fiel. ¿Es $\phi$ sobreyectiva?

Answer 1

Permítanme llamar su functor $\phi^{\ast}$. Se ha dejado adjoint (inducción) que voy a llamar a $\phi_{\ast}$. Quieres saber cuando la natural mapa

$$\text{Hom}(V, W) \to \text{Hom}(\phi^{\ast} V, \phi^{\ast} W)$$

es un isomorfismo. La aplicación de la contigüidad, equivalentemente, quiero saber cuando es el natural mapa

$$\text{Hom}(V, W) \to \text{Hom}(\phi_{\ast} \phi^{\ast} V, W)$$

es un isomorfismo. Por el Yoneda lema esto es equivalente a pedir cuando la natural mapa

$$\phi_{\ast} \phi^{\ast} V \to V$$

(el counit de la contigüidad) es un isomorfismo. Pero $\phi_{\ast} \phi^{\ast}$ multiplica la dimensión de una representación por el índice de $[G : H]$, por lo que llegamos a la conclusión de que esto sólo es posible si $[G : H] = 1$.

Answer 2

Podemos reemplazar $H$ $\phi(H)$ y por lo tanto asumen $H$ es sólo un subgrupo de $G$, ya que un $H$-equivariant mapa entre las representaciones de la imagen de $\operatorname{Rep}(\phi)$ es la misma cosa que un $\phi(H)$-equivariant mapa entre ellos. Ahora considere la posibilidad de regular la representación de $V=k[G]$$G$. Tenga en cuenta que un $G$-equivariant endomorfismo $T:V\to V$ está determinado por $T(1)$, ya que el $1$ genera $V$ $k[G]$- módulo. Pero como $H$-representación, $V$ divisiones como una suma directa de copias de los regulares de la representación $k[H]$, con una copia para cada coset de $H$$G$. En cada sumando directo, podemos definir un $H$-equivariant endomorfismo por derecho-multiplicación por cualquier elemento de $k[H]$. En particular, si $T:V\to V$ $H$- equivariant, $T(1)$ sólo determina $T$ sobre el sumando correspondiente a la coset de $1$. Por lo tanto si $H$ no $G$ (y por lo tanto hay más de un coset), hay $H$-equivariant endomorphisms de $V$ que no son $G$-equivariant.