¿Qué se puede decir de los valores propios del operador de Laplace en $H^k(\mathbb{T}^2)$

Question

Consideremos el operador de Laplace $$\Delta: H^{k+2}(\mathbb{T}^2) \to H^k(\mathbb{T}^2)$$ donde $\mathbb{T^2}$ es el toro bidimensional (que es una variedad compacta sin límites), de modo que $$H^k(\mathbb{T}^2) \simeq H^k_{per}([-\pi,\pi)).$$ Toma, $H^k$ denota el espacio de Sobolev $W^{k,2}$ equipado con la norma de su elección.

Tengo dos preguntas:

1) ¿Existe una base ortonormal $\lbrace v_n \rbrace_{n \in \mathbb{N}}$ de $H^k(\mathbb{T}^2)$ que consiste en funciones propias de $\Delta?$ ¿Cómo se puede demostrar eso?

2) ¿Qué se puede decir sobre el signo y el comportamiento asintótico de los valores propios correspondientes $\lbrace \alpha_n \rbrace_{n \in \mathbb{N}}$ ? Concretamente: ¿Es posible decir que $\vert \alpha_n \vert =\mathcal{O}(n^\nu)$ para algunos $\nu>0$ como $n \to \infty$ ?

¡Cualquier pista sobre algunos papeles sería muy apreciada!

Answer 1

En este caso concreto, se pueden calcular los valores propios y las funciones propias de forma explícita. Las funciones propias vienen dadas por los productos tensoriales de las del problema unidimensional. En concreto, las funciones propias son $$u_{jk}(x,y) = e^{i(jx+ky)}, \qquad \textrm{for } j \textrm{ and } k \textrm{ integers}.$$ Es fácil ver que son funciones propias, y para ver que son las únicas funciones propias, es decir, que no hay ninguna función propia que no esté en el tramo lineal de éstas, basta comprobar que forman un sistema completo en $L^2(\mathbb{T}^2)$ por ejemplo, utilizando el teorema de Fubini.

También se puede comprobar que $u_{jk}$ son ortogonales con respecto a la $H^m$ -producto interior, para cada número entero positivo $m$ . Entonces la completitud es una consecuencia de la completitud del sistema en $L^2$ . La respuesta a la pregunta esta pregunta .

En cuanto a la segunda pregunta, el valor propio correspondiente a $u_{jk}$ es $$\lambda_{jk}=-(\,j^2+k^2).$$ Para estudiar el comportamiento asintótico de los valores propios, definamos $N(\alpha)$ el número de valores propios que no superen $\alpha$ en valor absoluto. Entonces está claro que $N(\alpha)$ es igual al número de puntos de $\mathbb{R}^2$ con coordenadas enteras, que están contenidas en el círculo de radio $\sqrt\alpha$ . Estimación $N(\alpha)$ con exactitud se conoce como Problema del círculo de Gauss y es un problema difícil si se quiere llegar al límite, pero para los fines de su pregunta, es sencillo ver que $$N(\alpha) = \pi\alpha+E,$$ con $\frac{E}{\alpha}\to0$ como $\alpha\to\infty$ . A partir de esto, tenemos $$|\alpha_n| = \frac{n}\pi + e,$$ con $\frac{e}{n}\to0$ como $n\to\infty$ . Con un poco de trabajo adicional se puede mejorar esto a $e=O(\sqrt n)$ .