¿Mayor "salto-en-generalidad" en la historia de la matemática?

Question

Grothendieck, quien es famoso entre otras cosas por su capacidad o tendencia a buscar la mayoría de la formulación general de un problema, introdujo una serie de nuevos conceptos (con topos , quizás, el más famoso ?) que generalizar ya existentes y proporcionar un sistema unificado, más elegante y más eficiente manera de pensar de una clase de objetos.

¿Cuáles son tus favoritos ejemplos de tales generalizaciones y sus autores ?

(NOTA: esta es una suave cuestión y en gran parte una excusa para conmemorar una vez más el fallecimiento de Alexander Grothendieck esta semana.)

Grothendieck, quien se dice que ha sido muy humilde y a veces muy difícil de sobrellevar, al parecer tenía (de la fuente, la cita proviene de L. Schwartz biografía) un argumento con Jean Dieudonné, quienes culparon a él en sus años jóvenes para "generalizar por el simple hecho de generalizar":

Dieudonné, avec l''agressivité (toujours passagère) dont il était capaz, lui passa de la onu savon mémorable, arguant qu'on ne devait pas travailler de cette manière, en généralisant pour le plaisir de généraliser.

Answer 1

Seguramente el paso de números a grupos y campos (que es debido sobre todo a los matemáticos del siglo 19 como Abel, Galois y Dedekind) debe contar como uno uno de los más grandes saltos hacia adelante en la historia.

Gran parte de lo que se conoce sobre los números se reproven rápidamente para estructuras algebraicas abstractas y así para un número infinito de estructuras de hormigón con aplicaciones pura ilimitadas.

Answer 2

A ojos modernos la definición de espacio métrico por Frechet en 1906 puede no parecer mucho, pero allanó el camino para el análisis moderno y fue un gran salto hacia adelante. La ubicuidad de espacios métricos en prácticamente todos los campos de las matemáticas también fue contribución de muestra cómo profundo Frechet.

Answer 3

Mis 5 centavos en favor de la categoría de la teoría de Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane.

No sólo proporcionan un lenguaje común para muy diversos grupos de objetos/relaciones, fue la primera (a mi conocimiento muy limitado) teoría abstracta, para poner el énfasis en morfismos la preservación de la estructura (en lugar de las estructuras de sí mismos), y allanó el camino a Grothendieck del Topos de la teoría.

También, a primera vista puede parecer bastante más abstractas y sin sentido (véase, por ejemplo, http://en.wikipedia.org/wiki/Abstract_nonsense), lo que hace de su poder, incluso más sorprendente.

Edit: yo también deben incluir Laurent Schwartz para su teoría de las distribuciones, lo cual (al menos en términos comunes) son generalizaciones de $L^1$ funciones y medidas de Radón. La teoría finalmente dio un contexto adecuado para escribir cosas como $H' = \delta$ ($H$ de la función y Los $\delta$ Dirac "función"). Como anécdota, me ayudó a comprender el punto de tomar el conjunto más pequeño posible (aquí la prueba de funciones) para construir la más grande posible del espacio dual.

Answer 4

El salto forma longitud/superficie/volumen a la teoría de la medida abstracto, que abarca esta medidas básicas y mucho más extraño y es la herramienta fundamental de la teoría de la probabilidad.

Answer 5

Creo que la introducción de números complejos (que puede ser visto como una generalización de los números reales) por Gerolamo Cardano en 1545 es notable.

Nota: Introducción de cantidades "no naturales" como $0$ y los números negativos son de la misma clase de salto enorme en los conceptos de matemáticas.