pregunta elemental sobre formas diferenciales

Question

¿Es posible dar una explicación de alto nivel ¿por qué cambiar el orden de los diferenciales dará lugar a un signo menos? Es decir, por qué tenemos $$ dx\, dt = - dt\, dx $$ (me voy a tomar un curso sobre colectores del próximo semestre que esperamos que arrojará algo más de luz sobre esto, pero por el momento necesitaría algunos explanatnion para ayudarme a lo largo mientras que siguen estoy faltando los cimientos apropiados-si tal explicación es posible)

Answer 1

Yo creo que puede ser mejor dejar los trozos en: $dx\wedge dt = - dt\wedge dx$. De lo contrario, esto da lugar a la confusión. Ahora que usted pregunta.

Para una cosa: Si lo haces de esta manera, el determinante se sale de forma natural con el cambio de bases. Y esto es esencial para la integración, que es lo que estas cosas fueron diseñados para hacer (recordar el cambio de las variables de la fórmula de multi-variable de cálculo!).

He aquí una $2$-dimensional ejemplo. Deje $$A = \begin{pmatrix} a& b\\ c & d\end{pmatrix}$$ ser el cambio de coordenadas de la matriz de coordenadas Euclidianas a algún otro conjunto de coordenadas. Entonces \begin{align} Ae_1 \wedge Ae_2 &= (a e_1 + c e_2)\wedge (be_1 + de_2) \\ &= ab\; e_1 \wedge e_1 + ad\; e_1\wedge e_2 + cb \; e_2\wedge e_1 + cd \; e_2 \wedge e_2 \end{align} Ahora, usando el hecho de que usted ha mencionado, vemos que el primer y último términos son cero y obtener $$Ae_1\wedge Ae_2 = (ad - bc) \; e_1 \wedge e_2 = \det(A) \; e_1 \wedge e_2$$ Pero entonces, si escribimos $e_i = dx_i$ e interpretarlos como infinitesimal de longitud, su cuña de producto como infinitesimal de área, entonces esto no es nada, pero el cambio de las variables de la fórmula en este caso especial.

Podría ser divertido para demostrar que esta fórmula se generaliza a dimensiones superiores (un ejercicio de álgebra lineal).

Así que usted puede ver que este es exactamente el tipo de comportamiento que uno necesita en la integración. Un problema que aparece inmediatamente es la de orientación - ¿qué hacemos si $\det A < 0$? ¿Cómo podríamos construir una teoría de la integración en los colectores de esto? Podemos hacerlo en cualquier colector?

Las respuestas a estas preguntas, usted tendrá que aprender algo de la geometría diferencial. :)

Answer 2

Considere la posibilidad de la 2-forma:

$$ \omega = a(\mathbf{x}) \, dx_1 \wedge dx_2 $$

Se asigna a un 2-superficie de $\Phi$ el número de:

$$ \int_{\Phi} \omega = \int_D un(\Phi(\mathbf{u}))\frac{\partial(x_1, x_2)}{\partial(u_1, u_2)}\,d\mathbf{u} $$

Ahora, considere la 2-forma:

$$ \overline{\omega} = (\mathbf{x}) \, dx_2 \wedge dx_1 $$

Se asigna a la misma 2-superficie de $\Phi$ el número de:

$$ \int_{\Phi} \overline{\omega} = \int_D un(\Phi(\mathbf{u}))\frac{\partial(x_2, x_1)}{\partial(u_1, u_2)}\,d\mathbf{u} $$

La diferencia es el factor determinante. Si usted intercambiar dos filas de un determinante, se cambia de signo. Por lo tanto, Tenemos:

$$ \frac{\partial(x_2, x_1)}{\partial(u_1, u_2)} = - \frac{\partial(x_1, x_2)}{\partial(u_1, u_2)} $$

Combinado esto con el hecho de que:

$$ \int_\Phi\omega = - \int_\Phi \omega $$

Y ahora debería quedar claro por qué:

$$ dx_2 \wedge dx_1 = - dx_1 \wedge dx_2 $$

Answer 3

Siguiente Tao es importante tener la intuición acerca de la orientación. el espacio n-dimensional podría tener 2 orientaciones. En 1-dimensión que debemos usar dx -dx. En general queremos que el exterior de productos para capturar las orientadas Vol. (Por lo que debe ser multilineal.) También debemos tener dx$\wedge$dx=0. Para cualquier agradable álgebra(+,*) que han XX=0, tenemos (X+Y)(X+Y)=0

(X+Y)(X+Y)=XX+XY+YX+YY= 0+XY+YX+0 Así que XY=-YX.
Tenga en cuenta que en el otro lado (dx$\wedge$dy)$\wedge$(dv$\wedge$dw)= dx$\wedge$dy$\wedge$dv$\wedge$dw= -dx$\wedge$dv$\wedge$dy$\wedge$dw= ... =(dv$\wedge$dw)$\wedge$(dx$\wedge$dy)