Por qué siempre se pueden encontrar matrices unitarias $U,V$ para hacer $U^{-1}AV$ diagonal?

Question

Una afirmación interesante sin pruebas en mi libro de texto es esa, $\forall A\in M_n(\mathbb{C})$ existen matrices unitarias $U,V\in U_n(\mathbb{C})$ tal que $U^{-1}AV$ es diagonal.

Después de algunos experimentos, me sorprendió que esto fuera cierto. Incluso si $A$ no es diagonalizable, todavía se puede encontrar algún $U,V$ para hacerlo en diagonal.

Pero, ¿hay alguna forma de probarlo?

Answer 1

Basta con demostrar que para alguna matriz unitaria $W$ , $AW$ es normal es decir $$(AW)^*(AW)=(AW)(AW)^*$$ donde $*$ denota conjugado-transpuesto. Por el teorema espectral (ver el artículo de wikipedia enlazado), podemos entonces escribir $D=U^{-1}A(WU)$ para alguna unidad $U$ y la diagonal $D$ .

La condición $(AW)^*(AW)=(AW)(AW)^*$ se simplifica a $W^*A^*AW=AA^*$ desde $WW^*=I$ . Desde $A^*A$ et $AA^*$ son hermitianas, por el teorema espectral pueden ser diagonalizadas por matrices unitarias, por lo que tenemos $X^*A^*AX=D$ et $Y^*AA^*Y=D'$ para alguna unidad $X,Y$ y la diagonal $D,D'$ . Pero las entradas de $D$ et $D'$ son los valores propios de $A^*A$ et $AA^*$ y es bien sabido que los valores propios de $AB$ et $BA$ coinciden para cualquier matriz cuadrada $A,B$ . Así, $D=D'$ así que $X^*A^*AX=Y^*AA^*Y$ . Dejar $W=XY^*$ que es unitaria obtenemos $$W^*A^*AW=AA^*=Y(X^*A^*AX)Y^*=AA^*$$ como se desee.

Answer 2

Se puede demostrar esto probando primero que una matriz cuadrada se puede hacer triangular superior utilizando sólo operaciones de fila. Luego se dice que una multiplicación por la izquierda de una matriz unitaria es equivalente a una secuencia de operaciones de fila. Una vez hecho esto, se toma una transposición de la matriz triangular superior resultante y se aplica el mismo método a la matriz transpuesta y luego se utiliza la propiedad de que $(AB)^{t} = B^{t}A^{t}$ junto con la propiedad de que una multiplicación por la derecha es equivalente a una secuencia de operaciones de columna. Alternativamente, se puede demostrar que la transformación de columna se puede utilizar para transformar la matriz en una triangular inferior.