Residuo cuadrático módulo de potencia impar de $2$

Question

Si $x$ y $n$ ambos son enteros positivos Impares, tales que, $$x^2 \equiv -1\mod2^n$$ ¿qué podemos decir sobre $x$ y $n$ ?

Answer 1

Desde la plaza de impar $ \equiv 1 \pmod 8$ deducimos que si $n \geq 3$ , $x^2+1 \equiv 2 \neq -1 \pmod 8$ . Así, $n=1$ .

Answer 2

Sugerencia: Tenga en cuenta que si $x$ es impar, entonces $x^2+1\equiv 2\pmod{4}$ .