Resolver la ecuación diferencial de matriz usando una sustitución

Question

Quiero resolver $$t \frac{\mathrm{d} \mathbf{x}}{\mathrm{d} t} =\begin{pmatrix} 2 & 2\ 1 & 3 \end{pmatrix} \mathbf{x} ,\mathbf{x} (1) =\begin{pmatrix} 2\ 3 \end{pmatrix} $$ usando la sustitución $t=e^u$, $\mathbf{y}(u)=\mathbf{x}(e^u)$. Traté de sustituir

$$\frac{\mathrm{d} \mathbf{x}(e^{u(t)})}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} \mathbf{x}}{\mathrm{d} t}e^u \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} \mathbf{x}}{\mathrm{d} t}e^u \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(\ln t)=\frac{1}{t}\frac{\mathrm{d} \mathbf{x}}{\mathrm{d} t}e^u$ $ y no me explico cómo ayuda a resolver el problema. ¿Alguna idea?

Answer 1

Aquí está cómo en trabaja en la ecuación escalar:

Que $tx'=kx$ y que $t=e^u$.

Entonces $$ x (t) = x (e ^ {u}) = y (u) = y (\log t). $$

Ahora $$ \frac{dx}{dt}=\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dt}=\frac{1}{t}y'. $$

por lo tanto, su ecuación se convierte en $y'=ky$, que es fácil de resolver. Lo mismo para la notación de matriz.