Que $X \sim N(0,1) $. Calcular la función de densidad de $Y = \sqrt{\vert X \vert}$

Question

Aquí está lo que he hecho:

$P(Y\le y) = P(\sqrt{\vert X \vert}\le y)=P(\vert X \vert \le y^2) =P(\pm X \le y^2) $.
$= P(x\le y^2) +P(-x \le y^2)=P(x \le y^2)+P(x\ge -y^2) = P(x\le y^2) +1-P(x\le -y^2)$
$ =2\phi(y^2)$.
Soy incapaz de llegar a ninguna parte de este trabajo. Creo que tiene que haber un método mejor. No estoy seguro si hay algún error en los pasos que he hecho. Cualquier orientación es muy apreciada

Answer 1

Usted hizo la mayoría del trabajo, con algunas dificultades en torno a $|X| \le y^2$.

Aquí está una limpieza de la versión: $$P(Y\le y) = P(\sqrt{\vert X \vert}\le y)=P(\vert X \vert \le y^2) = \\ P(-y^2 \le X \le y^2) = P(X \le y^2) - P(X < -y^2) = \Phi (y^2) - \Phi (-y^2)$$ donde $\Phi ( \cdot)$ es el cdf para la normal estándar.

La función de densidad puede obtenerse tomando la derivada: $$g(y) = \frac{dP(Y \le y)}{dy} = 2y \phi (y^2) + 2y \phi (-y^2) = 4y \phi(y^2)$$ donde $\phi (x) = \Phi^\prime (x)$ es la densidad de la normal estándar. La última igualdad se sigue de la simetría de $\phi (x)$$x=0$.

Edit: como la derivación, el apoyo de $Y$$y \ge 0$.