¿Es todo cierre de un espacio métrico una terminación?

Question

Sé que toda terminación es un cierre de un espacio métrico, ya que toda secuencia convergente es cauchy y el límite de esa secuencia existirá dentro de la terminación.

Al mismo tiempo, desde mi punto de vista, cada secuencia de Cauchy se agrupará y se acercará arbitrariamente a algo, pero es sólo una cuestión de si ese elemento al que se acerca realmente existe o no en el espacio.

Esto me lleva a la pregunta de si todo cierre de un espacio métrico es una terminación, porque sólo estaríamos añadiendo los límites a las secuencias que existen fuera del espacio original, incluyendo los límites de las secuencias de Cauchy no convergentes.

Entonces, ¿hay algún ejemplo de cierre que no sea una terminación? ¿O son estas nociones equivalentes?

Answer 1

Los cierres y las terminaciones son bestias muy diferentes. El proceso de finalización toma un espacio métrico y escupe uno nuevo, con algunos límites nuevos añadidos. Así, la finalización de $\mathbb Q$ bajo la métrica habitual es $\mathbb R$ . No importa.

Por otro lado, el cierre toma un espacio métrico y un subconjunto del mismo, y pone cualquier punto de ese espacio métrico que sea límite del subconjunto. Sin embargo, no introduce los puntos que "faltan" en el espacio. Así, si trabajamos en $\mathbb Q$ entonces el cierre del subconjunto $(0,1)\cap \mathbb Q$ es $[0,1]\cap\mathbb Q$ que sigue sin tener irracionales, ya que el espacio métrico en el que trabajamos no los tiene. Más dramáticamente, si $(M,d)$ es un espacio métrico cualquiera, entonces $M$ está cerrado, pero podría no estar completo.

Es notable que, en los espacios métricos completos, el cierre de un subconjunto $S$ es esencialmente (es decir, isomorfo a) la terminación del espacio submétrico representado por $S$ .

Answer 2

Tu pregunta no tiene mucho sentido. Todo espacio métrico es cerrado por definición. Por ejemplo, si considera $(0,1)$ con la métrica regular, el cierre de $(0,1)$ es sólo $(0,1)$ .