Encontrar todos los números enteros $n$ tal que $\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right)^\times$ tiene exponente $2$

Question

Este problema es de un pasado en el examen de calificación.

Definición Un grupo de $G$ ha exponente $e$ si $g^e=1$ todos los $g\in G$.

Problema

Deje $G=\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right)^\times$. Encontrar todos los enteros $n$ que $G$ ha exponente $2$.

Mi trabajo hasta el momento: la Necesidad de encontrar $n$ tal que $\overline{b}^2=\overline 1$$\overline{b} \in G$. Así que tengo que encontrar a $n$ tal que $n \mid (b^2-1)$$(b,n)=1$. Bien, ¿cómo puedo ahora ir sobre la búsqueda de todas las $n$'s. He intentado un par de ejemplos como los de $n=1$ etc. Pero entonces yo todavía tiene que lidiar con $b$. Este tipo de problema es nuevo para mí. Puede alguien amablemente me muestre lo que he hecho mal/derecha aquí?

Se puede sugerir una manera de ir sobre la búsqueda de estos $n$'s.

Muchas gracias por tu ayuda.

Answer 1

Algunos hechos, que puede ser aprendido aquí:

1. $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}=\prod(\mathbb{Z}/p_i^{k_i}\mathbb{Z})^{\times}$ donde $n=\prod p_i^{k_i}$ es la factorización prima de $n$.
2. $(\mathbb{Z}/2^k\mathbb{Z})^{\times}\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2^{k-2}\mathbb{Z}$ $k\ge 2$.
3. $(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^{\times}\cong\mathbb{Z}/p^{k-1}(p-1)\mathbb{Z}$ para los impares primos $p$.

Yo creo que esto debería ser suficiente para responder a su pregunta. Tengo los valores de $n=3,4,6,8,12,$$24$, y nada más.

Si no quieres depender de toda la potencia de 2. y 3. anteriormente, se puede razonar de la siguiente manera. En primer lugar, el elemento $3$ va a tener un orden mayor que $2$ en el grupo $(\mathbb{Z}/2^k\mathbb{Z})^{\times}$$k\ge 4$, del que se desprende que sólo $k=2$ $k=3$ a los grupos con exponente $2$. También, el elemento $2$ va a tener un orden mayor que $2$ en el grupo $(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^{\times}$ $p\ge 5$ y para $p=3$, $k\ge 2$, de donde se desprende que sólo $p=3$ $k=1$ da a un grupo con exponente $2$. Ahora poner estos resultados, junto con 1. para obtener los valores de $n$ enumeradas anteriormente.

Answer 2

Esquema.

Primera nota: Si es verdadera para $n$, e $d\mid n$, entonces es cierto para $d$. (Por qué?)

Segunda nota: Si $n_1,n_2$ son relativamente primos, y es cierto para$n_1$$n_2$, entonces es cierto para $n_1n_2$. (Por qué?)

De estos, vemos que podemos conseguir nuestra lista por el primer considerando sólo $n=p^k$ donde $p$ es primo. (Por qué?)

A continuación, mostrar los casos en que $p>3$ es un divisor de a $n$ no son posibles.

Finalmente, el enumerador de los casos en donde la $n$ es una potencia de $2$ $3$ para los que esto es cierto. Nota, si es verdad para $n=p^{k+1}$ debe ser cierto para $n=p^k$, por lo que sólo necesitas encontrar el más pequeño $k$ donde falla por $p=2,3$.

La solución general es la lista de todos los $2^a3^b$ donde es cierto para $2^a$ y verdadero para $3^b$. Esta debe ser una lista limitada.