¿Que % real $x$es la matriz $ A_{ij} = x^{|i-j|}$invertible?

Question

¿Que % real $x$es la matriz de $n\times n$ $ A_{ij} = x^{|i-j|}$ invertible?

Omitiendo lo casos triviales $x=1,0$ pensé que puesto que era la matriz simétrica real pude diagonalize y mirar sus valores propios, pero rápidamente consiguió desordenado y no pude subir con una solución cerrada

Answer 1

Parece que si $A_n$ es la matriz de tamaño $n \times n$$n \ge 1$, tenemos $$ \det a = \left(1-x^2\right)^{n-1}, $$ que es fácil de probar usando inducción matemática sobre la regla de Cramer de la expansión del determinante, la expansión en la primera columna. La primera submatriz es siempre la hipótesis inductiva, y todos los demás, excepto uno puede tener un factor adicional de $x$ deja fuera de la 1ª fila, lo que hace que la 1ª y 2ª filas idénticas (y, por tanto, el determinante es 0).

Por lo tanto, para todos los $x \ne \pm 1$, la matriz $A_n$ es, sin duda invertible.

Answer 2

Que $A(n)$ ser la matriz de $n \times n$. Me parece como $\det(A(n)) = (1-x^2)^{n-1}$ $n \ge 1$. Por lo tanto los ceros sólo son $\pm 1$.