longitud, minimizando la transformación lineal especial

Question

Supongo que $\gamma:\mathbb{S}^1\to\mathbb{R}^2$ es una curva estrictamente convexa simétrica de origen liso. Hay cualquier transformación lineal especial $A\in SL(2,\mathbb{R})~$ tal que se minimice la longitud de $A\gamma~$.

Answer 1

Hay un $A\in SL(2,{\mathbb R})$ que minimiza la longitud de $A\gamma$.

Prueba. Usted puede asumir que $\gamma$ tiene una longitud de $L$ y se encuentra fuera del círculo unidad. Cualquier admisible $A$ puede ser escrita en la forma $A=T_\phi\ D \ T_\psi$ donde $T_\phi$ $T_\psi$ son rotaciones y $D={\rm diag}(\rho, {1\over \rho})$$\rho\geq 1$. Esta $A$ transforma el círculo unidad en una elipse de la circunferencia, al menos,$4\rho$, e $A\gamma$ tienen una mayor longitud. Esto implica que podemos restringir el conjunto de los admisible $A$'s $\rho\leq L/4$ sin perder un posible candidato. Pero ahora estamos minimizando obviamente una función continua sobre el conjunto compacto $[0,\pi]\times[1,{L\over 4}]\times [0,\pi]$; por lo tanto el mínimo existe.

Answer 2

$SL(2,\mathbb{R})$ es el grupo especial de transformaciones lineales, no de especial afín. Sin embargo, dado que las traducciones no cambiar la longitud de la curva, la respuesta es la misma para ambos grupos.

La respuesta es sí. Deje $L$ ser la longitud de la $\gamma$, y deje $d$ ser la menor distancia de un punto de la imagen de $\gamma$ desde el origen. Esta menor distancia existe, pues, como una función continua en el conjunto compacto $S^1$, la distancia que alcanza su mínimo; es distinto de cero desde el origen no puede mentir sobre la curva. Considerar el conjunto de elementos $A\in SL(2,\mathbb{R})$ con entradas de menos de o igual a $a_0:=\frac{L}{4d}$. Este conjunto es compacto en la topología en $SL(2,\mathbb{R})$ inducida por el elementwise métrica, ya que es cerrado y acotado. La longitud de $A\gamma$ es una función continua en este conjunto compacto, y por lo tanto alcanza su mínimo $L_0$, $L_0\le L$ (desde $L\ge4d$, por lo tanto $a_0\ge1$ y, por tanto, el conjunto contiene la identidad). Ahora a considerar los elementos de $SL(2,\mathbb{R})$ con al menos una entrada $a>a_0$. Dicha transformación mapas de una de las intersecciones de la curva con los ejes de coordenadas a un punto a una distancia mayor o igual a $ad$ desde el origen. Por lo tanto, la longitud de la transformación de la curva es, al menos,$4ad>4a_0d=L\ge L_0$. Por lo tanto $L_0$ es la longitud mínima. Es alcanzado por lo menos por un paramétricas de la familia de las transformaciones que se diferencian unas de otras por las rotaciones.