Hallar todos los números complejos z tales que $e^{-2iz}/4 + e^{-iz}/2 + 1 + 2e^{iz} + 4e^{2iz} = 0 $
Reescribir el lado izquierdo utilizando la fórmula de Eulers no parece llevarme a ninguna parte. Necesito ayuda.
Gracias de antemano.
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Sea $w=2 e^{i z}$ . Entonces
$$w^2+w+1+\frac{1}{w}+\frac{1}{w^2}=0$$
Esto puede transformarse en
$$\left ( w+\frac{1}{w}\right)^2 + w+\frac{1}{w} -1=0$$
Así que $y=w+1/w$ y resuelve la cuadrática resultante:
$$y^2+y-1=0 \implies y= \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2} = \phi_{\pm}$$
Ahora resuelve
$$w^2-\phi_{\pm} w + 1=0$$
lo que implica que
$$w = \frac{\phi_{\pm} \pm \sqrt{\phi_{\pm}^2-4}}{2} = \frac{\phi_{\pm}}{2} \pm i \sqrt{1-\left ( \frac{\phi_{\pm}}{2}\right)^2}$$
Además, puede que note que
$$\frac{\phi_+}{2} = \cos{\frac{2 \pi}{5}}$$ $$\frac{\phi_-}{2} = \cos{\frac{4\pi}{5}}$$
Así que puedes poner $w$ en la forma $e^{i \theta}$ y resolver para $z$ en consecuencia. Obtenemos 4 soluciones para $w$ :
$$w_1 = e^{i 2 \pi/5} = 2 e^{i z_1}$$ $$w_2 = e^{-i 2 \pi/5}= 2 e^{i z_2}$$ $$w_3 = e^{i 4 \pi/5}= 2 e^{i z_3}$$ $$w_4 = e^{-i 4 \pi/5}= 2 e^{i z_4}$$
Resolver el $z$ utilizando logaritmos. Por ejemplo,
$$z_1 = \frac{2 \pi}{5} + 2 \pi k_1 + i \log{2}$$
para cualquier $k_1 \in \mathbb{Z}$ . Puedes hacer el resto de forma similar.
Robert Lewis
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Esto podría ayudarte a empezar. Multiplicar por $e^{2iz}$ , obteniendo
$4e^{4iz} + 2e^{3iz} + e^{2iz} + \frac{1}{2}e^{iz} + \frac{1}{4} = 0$ ,
a continuación, establezca $w = e^{iz}$ , obteniendo
$4w^4 + 2w^3 + w^2 + \frac{1}{2}w + \frac{1}{4} = 0$ ,
multiplicar por $4$ para que las cosas se vean bien:
$16w^4 + 8w^3 + 4w^2 + 2w + 1 = 0$ .
Ahora puedes resolverlo como un cuártico (a partir del conocido procedimiento) y trabajar hacia atrás desde ahí para obtener $z$ tal que $e^{iz} = w$ ¡!
