Probando cada ideal de $\mathbb{Z}_n$ es principal

Question

Yo estaba trabajando en un problema en Robert Ceniza del Álgebra Abstracta, y no siga parte de la solución. El problema de los estados

Deje $R$ ser el anillo de $\mathbb{Z}_n$ de los enteros modulo $n$ donde $n$ puede ser un primo o compuesto. Mostrar que todos los ideales de a $R$ es la directora.

Sus soluciones de como va

Desde un ideal de a $I$ es un conjunto finito, en este caso, se debe tener un conjunto finito de generadores $x_1,\ldots, x_k$. Deje $d$ ser el máximo común divisor de la $x_i$. Cada elemento de a $I$ es de la forma $a_1x_1+\cdots+a_kx_k$, y, por tanto, un múltiplo de $d$. Por lo tanto $I\subseteq (d)$. Pero $d\in I$, debido a que existen enteros $a_i$ tal que $\sum_i a_ix_i=d$. En consecuencia, $(d)\subseteq I$.

¿Por qué "no son enteros $a_i$ tal que $\sum_i a_ix_i=d$" obvio? Yo no veo esto de forma automática, y agradecería una explicación.

También, hace la prueba utilizando el algoritmo de la división desmoronarse aquí? A la hora de resolver sin mirar la respuesta, me dijo que tome $n$ menos de la congruencia de la clase en un ideal de a $I$, entonces para cualquier $m\in I$, $m=qn+r$ para $0\leq r\lt n$, lo $m-qn\in I$, así que $r\equiv 0$. Por lo $I=(n)$. ¿Esto no funciona, o lo hizo Ash acaba de proporcionar una calidad diferentes? Gracias.

Answer 1

La existencia de estos $a_i$ es una forma un poco más general de la identidad de Bezout. Técnicamente estamos tomando representantes $0\leq y_1,\ldots,y_k\leq n-1$ $\mathbb{Z}$ $x_1,\ldots,x_k\in\mathbb{Z}_n$, que $D=\gcd(y_i)$, usando la identidad de Bezout $\mathbb{Z}$ para mostrar que hay $b_1,\ldots,b_k\in\mathbb{Z}$, que $\sum b_iy_i=D$, entonces reducir mod $n$ % ecuación $\sum a_ix_i=d$donde $a_i=b_i+n\mathbb{Z}$ y $d=D+n\mathbb{Z}$.

Answer 2

Probablemente ceniza ya ha demostrado que $\bf Z$ es un PID. $d$ Es el MCD de los $x_i$ $\bf Z$, que es un PID, así que trabajo en $\bf Z$ tenemos $\sum_ia_ix_i=d$ $a_i$.