Considere el polinomio anillo de $R=\mathbb C[x_1,x_2,...,x_{16}]$, y el conjunto de
$$X=\begin{pmatrix} x_1 &x_2&x_3 &x_4\\ x_5&x_6& x_7&x_8\\x_9&x_{10}&x_{11}&x_{12}\\x_{13}&x_{14}&x_{15}&x_{16}\end{pmatrix}.$$
Ahora, el uso de estas tres matrices
$$L=\begin{pmatrix}0&-1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0 \end{pmatrix}$$ $$M=\begin{pmatrix}0&0&0&-1\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}$$ $$N=\begin{pmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{pmatrix}$$
creamos polinomios $f_i, g_i,$$h_i$, de la siguiente manera:
$$XLX^t-L=\begin{pmatrix} f_1 &f_2&f_3 &f_4\\ f_5&f_6& f_7&f_8\\f_9&f_{10}&f_{11}&f_{12}\\f_{13}&f_{14}&f_{15}&f_{16}\end{pmatrix}$$
$$XMX^t-M=\begin{pmatrix} g_1 &g_2&g_3 &g_4\\ g_5&g_6& g_7&g_8\\g_9&g_{10}&g_{11}&g_{12}\\g_{13}&g_{14}&g_{15}&g_{16}\end{pmatrix}$$
$$XNX^t-N=\begin{pmatrix} h_1 &h_2&h_3 &h_4\\ h_5&h_6& h_7&h_8\\h_9&h_{10}&h_{11}&h_{12}\\h_{13}&h_{14}&h_{15}&h_{16}\end{pmatrix}$$
Por último, vamos a $I = (f_i, g_i, h_i)$ ser el ideal generado por estos $48$ polinomios. Entonces, ¿cómo demostrar que el radical de $I$, es decir,$\sqrt I$, es generada por doce lineal de polinomios y un polinomio cuadrático ?
No tengo idea de cómo abordar este problema; se puede utilizar Nullstelensatz ... ?
Por favor ayuda
NOTA : Todas las matrices de $L,M,N$ son ortogonales , por lo que los tres la definición de las ecuaciones se pueden escribir como $(XL)(LX)^t=(XM)(MX)^t=(XN)(NX)^t=Id$. Ahora si podemos encontrar algún patrón en $XL,LX,MX,XM,NX,XN$, entonces podría ser útil para encontrar la puesta a cero del ideal de la $I$ ... También se $L,M,N$ son desfase matrices simétricas y como @Balaji sb señaló, $LM=-N$ ... esto significa $L,M,N$ obras como el $i,j,k$ en el Quaternion anillo ...
