Evaluación del límite de $\lim\limits_{n \to \infty } \frac1{\sqrt n}\left(1 + \frac1{\sqrt 2 }+\frac1{\sqrt 3 }+\cdots+\frac1{\sqrt n } \right)$

Question

Evaluar el límite : $$\lim_{n \to \infty } {1 \over {\sqrt n }}\left( {1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + \cdots + {1 \over {\sqrt n }}} \right)$$

Puedo usar el sándwich principio, ciertos criterios de convergencia, Cesaro significa teorema del límite aritmética.. las cosas alrededor de esta área.

Cualquier ayuda sería muy apreciada, gracias! Lo siento por no elaborar más al principio, novato de primer post error, supongo. :)

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ 2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})=\frac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}\leq\frac{1}{\sqrt{k}}\leq \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}=2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}) $$ Por lo tanto $$ 2(\sqrt{n+1}-1)=\sum\limits_{k=1}^n 2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})\leq\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}\leq \sum\limits_{k=1}^n 2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})=2\sqrt{n} $$ así $$ \frac{2\sqrt{1 + n}-2}{\sqrt{n}}\leq\frac{1}{\sqrt{n}}\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\leq2 $$ El resto es clara.

Answer 2

Reescribir como $$\frac 1n \left(\frac 1 {\sqrt{\frac 1n}}+\frac 1 {\sqrt{\frac 2n}}+\dots +\frac 1 {\sqrt{\frac nn}} \right)$$ and interpret this as a Riemann sum for the function $$\frac 1{\sqrt x}.$$

Answer 3

Este es un estándar de Stolz-Cezaro problema

$$\lim_{n \to \infty } {1 \over {\sqrt n }}\left( {1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + \cdots + {1 \over {\sqrt n }}} \right)=\lim_{n \to \infty } \frac{\left( {1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + \cdots + {1 \over {\sqrt n }}} \right)}{\sqrt{n}}=$$ $$=\lim_{n}\frac{\frac{1}{\sqrt{n+1}}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}$$

racionalizar el denominador de obtener

$$\lim_{n \to \infty } {1 \over {\sqrt n }}\left( {1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 3 }} + \cdots + {1 \over {\sqrt n }}} \right)=\lim_n \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}=2$$

Answer 4

Utilizar tan poco maquinaria como sea posible, observa que el $\left(\sqrt n+\frac1{2\sqrt n}\right)^2=n+1+\frac1{4n}>n+1$, por lo tanto $$\tag1\sqrt{n+1}<\sqrt n + \frac1{2\sqrt n}.$$ Por inducción, vemos por lo tanto que $$\tag22\sqrt {n+1}<2+\sum_{k=1}^n \frac1{\sqrt k}\quad\text{for all }n\in\mathbb N.$$ Por otro lado, si $q>2$, $n$ suficientemente grande, tenemos $\left(\sqrt n+\frac1{q\sqrt n}\right)^2=n+\frac2q+\frac1{q^2n}<n+1$ y por lo tanto $$\tag3\sqrt{n+1}>\sqrt n + \frac1{q\sqrt n}.$$ De nuevo por inducción, por lo tanto, encontrar $$\tag4q\sqrt {n+1}>C+\sum_{k=1}^n \frac1{\sqrt k}\quad\text{for all }n\in\mathbb N,$$ donde $C$ es un (negativo) constante que depende de $q$ (necesario para cubrir el hecho de que $(3)$ posee sólo para $n$ suficientemente grande). Esto nos da $$\frac{2\sqrt{n+1}-2}{\sqrt n}<\frac1{\sqrt n}\left(1+\frac1{\sqrt 2}+\cdots+\frac1{\sqrt n}\right)<\frac{q\sqrt{n+1}-C}{\sqrt n}$$ para casi todos los $n$. La izquierda y la derecha estimación convergen a$2$$q$, respectivamente, como $n\to\infty$. Desde $q$ cualquier número $>2$, llegamos a la conclusión de que $$\lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt n}\left(1+\frac1{\sqrt 2}+\cdots+\frac1{\sqrt n}\right)=2.$$

Answer 5

Escribir la expresión como ${1\over n}$ veces $\biggl(\ldots\biggr)$ y verás que puede ser interpretado como una suma de Riemann que pertenecen a un cierto integral.