Mostrar falsos: si $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita sobre $F$ y $V=A \oplus B$ y $V^* = A^* \oplus B^*$.

Question

Que $V$ ser un espacio dimensional finito del vector sobre un campo $F$, $A$ y $B$ subespacios de $V$ tal que $V=A \oplus B$. Quiero mostrar que no sigue ese $V^ = A^ \oplus B^*$.

Prueba tentativa: asumir que $A\neq V$. Que $f\in A^$, entonces el $f:A\to F$. Si $g\in V^$, entonces el $g:V\to F$. Desde $f$ y $g$ tienen dominios diferentes, no podemos concluir que el $f\in V^$. Así $A^$ no es un subconjunto de $V^*$ y el resultado sigue.

Answer 1

Depende de lo que quieres decir con eso de la igualdad, y ¿cómo se define la suma directa (interno o externo construcciones pueden cambiar el resultado, si usted quiere una igualdad de conjuntos). Lo que sí es cierto es que $V^* \simeq A^* \oplus B^*$.

Recordemos que una lineal mapa de $h : A \oplus B \to W$ está determinada únicamente por los mapas de $f: A \to W$$g: B \to W$. Esto es, dados dos mapas, se puede construir $h(a,b) := f(a)+g(b)$, y esta es la única función lineal que verifica $h(a,0) = f(a)$$h(0,b) = g(b)$.

Ahora, cada elemento de la $V^* = (A \oplus B)^*$ es un funcional lineal $\phi : A \oplus B \to \mathbb{F}$, por lo que es en bijective correspondencia con los mapas de $\phi(-,0): A \to \mathbb{F}$$\phi(0,-) : B \to \mathbb{F}$. Es decir, la función

$$ \Gamma: V^* \rightarrow a^* \oplus B^* \\ \ \phi \mapsto (\phi(-,0),\phi(0,-)) $$

es bijective. Por otra parte, esta aplicación es lineal y por lo tanto es un isomorfismo.

Answer 2

Depende de cómo interpretar $\oplus$.

El dual $V^*$ es de hecho isomorfo a (externo) suma directa de $A^*\oplus B^*$. De hecho, si $(f,g)\in A^*\oplus B^*$, podemos definir $$ \overline{(f,g)}\colon V\a F \qquad \overline{(f,g)}(a,b)=f(a)+g(b) $$ y $\overline{(f,g)}$ es lineal. Supongamos $\overline{(f,g)}$ es el cero mapa. Entonces, para todos los $a\in A$, $$ \overline{(f,g)}(a,0)=f(a)=0 $$ y por lo $f=0$; del mismo modo, $g=0$. Por lo tanto, el mapa de $(f,g)\mapsto\overline{(f,g)}$ es un inyectiva lineal mapa de $A^*\oplus B^*\to V^*$. Desde el dominio y el codominio tienen la misma dimensión, el mapa también es surjective.