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Question

Para analizar lo que sucede a la función $$\left(\frac{x}{a}\right)^n + \left(\frac{y}{b}\right)^n = 1$$ when as $n # \to \infty$.

Aquí se nos da, $a=4,b=10$. Cuando $n=1,2$ sé que es una línea recta y ellispe. ¿Qué sucede cuando $n \to \infty$?

Me lo han trazado y vi que converge al rectángulo, pero no se puede explicar matemáticamente!

Answer 1

Creo que intuitivamente se podría pensar así.

Hay un supuesto que $-a\le x\le a$ y $-b \le y \le b$.

Transformar en nuevas coordenadas $x'=x/a$ y $y'=y/b$ $$(x')^n + (y')^n = 1$ $ $$-1 \le x' \le 1, -1 \le y' \le 1$ $ de todos $|x'| \lt1$ $$ \lim x'\to 0, \to\infty n $$ semejantemente $y'$.

Los límites sólo cero son $x'=\pm1$ y $y'=\pm1$ es decir, cuando $x=\pm a$ y $y=\pm b$

Answer 2

Sí, converge a la del rectángulo en el siguiente sentido:

Deje $p = (x, y)$ ser un punto en la curva de $\left( \frac xa \right)^n + \left(\frac yb\right)^n = 1$.

A continuación, cualquiera de $\left( \frac xa\right)^n\ge \frac 12$ o $\left( \frac yb\right)^n \ge \frac 12$, que es

$$ \left|x\right| \ge \sqrt[n]{\frac 12}|a| \ \ \text{or } \left|y\right| \ge \sqrt[n]{\frac 12}|b|. $$

Por lo tanto la distancia entre el $p$ y el rectángulo $\{ |x| = |a|, |y|= |b|\}$ es menor de

$$ \left( 1- \sqrt[n]{\frac 12}\right) \min\{|a|, |b|\}\to 0$$

como $n\to \infty$. En el anterior sentido, la curva converge al rectángulo como $n\to \infty$.

Una manera rigurosa es el uso de la distancia de Hausdorff entre la curva y el rectángulo (como subconjuntos en $\mathbb R^2$) y muestran que la Hausdorff disatnce tiende a cero.