¿Cómo hallar la suma de los n primeros elementos de la serie 1,2,4,5,7,8.... en función de n?

Question

Veo que puedo dividirla en dos series aritméticas (1,4,7... y 2,5,8...) y sumar las dos sumas, pero ¿cuál es la notación compacta para la suma de estas dos series en función de n?

Answer 1

Su secuencia $1,2,4,5,7,8,\dots$ satisface la recurrencia lineal no homogénea de segundo orden $$a_n=a_{n-2}+3$$ con valores iniciales $$a_1=1,\ a_2=2.$$ La solución es $$a_n=\frac{6n-3-(-1)^n}4.$$ La suma del primer $n$ términos es $$\sum_{k=1}^n a_k=\frac34n^2+\frac{1-(-1)^n}8=\boxed{\frac34n^2+\frac{1-\cos n\pi}8}.$$

Answer 2

Si considera que $$a_k=1+3k\qquad b_k=2+3k$$ entonces $$\sum_{k=0}^n a_k=\sum_{k=0}^n (1+3k)=\sum_{k=0}^n 1+3\sum_{k=0}^n k=n+1+3 \frac{1}{2} n (n+1)=\frac{1}{2} (n+1) (3 n+2)$$ $$\sum_{k=0}^n b_k=\sum_{k=0}^n (2+3k)=2\sum_{k=0}^n 1+3\sum_{k=0}^n k=2(n+1)+3 \frac{1}{2} n (n+1)=\frac{1}{2} (n+1) (3 n+4)$$

Continúa.

Answer 3

Busquemos primero la fórmula de par $n$ . En este caso, $m = n/2$ es un número entero, y además la suma de los primeros $n$ elementos de su secuencia es la suma de los primeros $m$ elementos de las dos progresiones aritméticas, es decir, $$ m + 3\frac{m(m-1)}{2} + 2m + 3\frac{m(m-1)}{2} = 3 (m + m(m-1)) = \frac{3n^2}{4}. $$

Si $n$ es impar, entonces $n-1$ es par y sabemos que la suma de los primeros $n-1$ entradas es $\frac{3(n-1)^2}{4}$ . Además, la última entrada de la secuencia era la $((n-1)/2 + 1)$ -primera entrada de la primera progresión aritmética, es decir $1,4,7,10, \ldots$ . Pero el valor de esa entrada es $3 ((n-1)/2 + 1) - 2 = 3(n-1)/2 + 1$ por lo que utilizando la fórmula para el caso par, la suma del primer $n$ entradas igual a $$ \frac{3(n-1)^2}{4} + 3(n-1)/2 + 1 = \frac{3}{4} (n^2 - 2n + 2n + 1 - 2 + 4/3) = \frac{3n^2}{4} + \frac{1}{4}. $$