¿Cómo encontrar el eje con el mínimo momento de inercia?

Question

Si se da un sistema de partículas, en un plano 2D, con partículas que tienen masas $M_1$ , $M_2$ , $M_3, \ldots M_n$ y coordenadas $(x_1,y_1)$ , $(x_2,y_2)$ , $(x_3,y_3), \ldots (x_n y_n)$ , entonces, ¿cómo se puede encontrar el eje alrededor del cual el sistema tiene el mínimo momento de inercia?

Sé que entre los ejes paralelos, el que pasa por el centro de masa tiene una inercia mínima, pero ¿qué eje de los que pasan por el COM tiene menos inercia sobre él?

Bonificación: si es posible, explique cómo se puede encontrar este eje para un sistema de partículas en el espacio 3D.

Answer 1

En realidad, este es un buen ejemplo de tensores y de minimización mediante multiplicadores de Lagrange. Para la rotación alrededor de la COM, el tensor de inercia $\mathbf{I}$ se define como una simetría $3\times3$ con elementos como $$ I_{xx} = \sum_k m_k (y_k^2+z_k^2), \quad I_{xy} = I_{yx} = -\sum_k m_k x_k y_k, \quad I_{xz} = I_{zx} = -\sum_k m_k x_k z_k, \quad \ldots $$ donde los vectores de posición $(x_k,y_k,z_k)$ son relativas al COM. Incluso una disposición de partículas en 2D tendrá, en general, un $3\times3$ tensor de inercia: se puede girar alrededor de cualquier eje en el espacio 3D. Al tratarse de un tensor, el momento de inercia asociado a la rotación sobre cualquier eje a través del COM, representado por un vector unitario $\mathbf{n}$ tendrá un valor $$ \mathbf{n}\cdot\mathbf{I}\cdot\mathbf{n} $$ Así que podemos buscar el vector $\mathbf{n}$ que minimiza esta forma cuadrática. Sin embargo, debemos recordar la restricción de que $\mathbf{n}$ es un vector unitario, es decir, satisface $\mathbf{n}\cdot\mathbf{n}=1$ . Así que podemos aplicar el método de Multiplicadores indeterminados de Lagrange y minimizar sin limitaciones la función $$ \Phi(\mathbf{n}) = \mathbf{n}\cdot\mathbf{I}\cdot\mathbf{n} - \lambda \mathbf{n}\cdot\mathbf{n} $$ Este mínimo (o máximo) se produce cuando el gradiente de la función con respecto a $\mathbf{n}$ desaparece, y esto ocurrirá cuando $$ \mathbf{I}\cdot\mathbf{n} = \lambda \mathbf{n} $$ Este es un problema de valores propios . Así que la respuesta a su pregunta es

1. Diagonalizar el tensor de inercia, para obtener sus tres valores propios principales $I_1$ , $I_2$ , $I_3$ .
2. Elige el más pequeño de ellos.
3. El vector propio correspondiente es el eje que desea.

Como se ha mencionado anteriormente, siempre que se calcule el tensor de inercia como $3\times3$ matriz, es indiferente que la disposición de las masas sea en 2D o en 3D. Si las partículas están todas en la $xy$ plano, sin embargo, es fácil demostrar que el $z$ es un vector propio del tensor de inercia, y también (debido a la teorema del eje perpendicular ) que el momento de inercia sobre el $z$ eje es más grande que sobre cualquiera de los ejes que se encuentran en el $xy$ plano. Esencialmente, el problema se convierte en un $2\times2$ problema de valores propios de la matriz.

Answer 2

Estoy resolviendo esto para partículas distribuidas en un espacio 2D. Primero sabemos que el momento de inercia de una partícula alrededor de un eje está dado por

$$I=Mr^2$$

Y sabemos que los ejes que pasan por COM tienen el mínimo momento de inercia. Nuestro trabajo es encontrar la pendiente de los ejes con min Inercia, entonces podemos utilizar la forma de punto de pendiente para encontrar la ecuación del eje requerido :

$$y - y_0 = m ( x - x_0 )$$

(Donde m es la pendiente de la línea y $(x_0, y_0)$ es el punto por el que pasa)

Consideremos ahora la distribución de masas, la coordenada de COM viene dada por: $$ x_{cm} = \frac{1}{M} \sum_i M_i x_i $$ $$ y_{cm} = \frac{1}{M} \sum_i M_i y_i $$

Y ahora vamos a desplazar el origen a la COM para facilitar nuestros cálculos. Si la coordenada original de la masa $M_i$ fue $(x_i, y_i)$ entonces las nuevas coordenadas desplazadas son: \begin {align} x_i' & = x_i - x_{cm} \\ y_i' & = y_i - y_{cm} \end {align} Por lo tanto, el eje que buscamos pasa ahora al nuevo origen desplazado $(x_0, y_0)$ .

Ahora dejemos que la ecuación de la línea sea

$$y = mx$$ (ya que esta línea pasa por el origen, $c = 0$ ).

Entonces la distancia $r_i$ de la $i$ de esta línea, viene dada por : \begin {align} r_i = \frac {|m x_i' -y_i'|}{ \sqrt {1+m^2}} \end {align}

Por tanto, el momento de inercia total del sistema es :

\begin {align} I = \sum M_i r_i^2 \end {align}

Ahora podemos diferenciarlo con respecto a $m$ (pendiente) y lo igualamos a cero para encontrar los mínimos: $$ \frac{dI}{dm} = \sum \frac{2M_i(mx_i'-y_i)(x_i'+my_i)}{(1+m^2)^2} $$

Al igualar a cero se obtiene :

$$ \sum M_i(mx_i'-y_i)(x_i'+my_i)=0 $$

Resolviendo para m se obtiene la siguiente ecuación cuadrática :

$$ \left(\sum M_i x_i'y_i'\right)m^2 + \left(\sum M_i (x_i'^2-y_i'^2)\right)m - \left(\sum M_i x_i'y_i'\right) = 0 $$

Obsérvese que el producto de las raíces (es decir, las pendientes) es -1, es decir, que se obtienen dos ejes perpendiculares entre sí y que uno de ellos tiene el momento mínimo y el otro tiene el máximo sobre él (se pueden averiguar diferenciando de nuevo la ecuación cuadrática anterior)

Así, el eje que buscamos, en el sistema de coordenadas original puede escribirse como $$ y-y_{cm} = m(x-x_{cm}). $$ donde $m$ es la pendiente que corresponde a la inercia mínima.